Άλλη μια όμορφη καθετότητα

KARKAR · #1

: Άλλη μια όμορφη καθετότητα.png (14.78 KiB) Προβλήθηκε 1256 φορές

Το

είναι το ορθόκεντρο του οξυγωνίου τριγώνου ABC

. Η διάμεσος

,

τέμνει - προεκτεινόμενη - τον περίκυκλο του τριγώνου στο σημείο

και έστω

, το συμμετρικό του

, ως προς

. Δείξτε ότι : $HS' \perp AM$ .

#2

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

#3

KARKAR έγραψε: Τετ Μάιος 10, 2023 8:01 pm Άλλη μια όμορφη καθετότητα.pngΤο είναι το ορθόκεντρο του οξυγωνίου τριγώνου . Η διάμεσος ,

τέμνει - προεκτεινόμενη - τον περίκυκλο του τριγώνου στο σημείο και έστω

, το συμμετρικό του , ως προς . Δείξτε ότι : $HS' \perp AM$ .

Το συμμετρικό

του

ως προς το

είναι το αντιδιαμετρικό του

( γνωστή πρόταση ) αρα το HS'H'S

είναι παράλληλογραμο ( οι διαγωνιες διχοτομούνται ) και αφού H'S

ειναι κάθετη στην AMS

( απο την διάμετρο AH'

) και η παράλληλος της HS'

θα ειναι κάθετη σε αυτή και το ζητούμενο εχει αποδειχτεί

Μιχάλης Τσουρακάκης · #4

KARKAR έγραψε: Τετ Μάιος 10, 2023 8:01 pm Άλλη μια όμορφη καθετότητα.pngΤο είναι το ορθόκεντρο του οξυγωνίου τριγώνου . Η διάμεσος ,

τέμνει - προεκτεινόμενη - τον περίκυκλο του τριγώνου στο σημείο και έστω

, το συμμετρικό του , ως προς . Δείξτε ότι : $HS' \perp AM$ .

Έστω

το περίκεντρο του τριγώνου ,το ύψος του

και $OD \bot AC$

Είναι $BH=2OD=EC \Rightarrow BH=//EC \Rightarrow BHCE$ παραλ/μμο ,άρα

HM=ME

οπότε,

παραλ/μμο κι επειδή $ES \bot AS \Rightarrow HS' \bot AS$

(Το χρόνο που έλυσα και πληκτρολόγησα τη λύση μου έγινε η ανάρτηση του Στάθη που γράφει ακριβώς την ίδια λύση την οποία είδα τώρα

Αφήνω τη δική μου λύση γιατί περιέχει την απόδειξη της γνωστής πρότασης που αναφέρει ο Στάθης)

: Όμορφη καθετότητα.png (22.1 KiB) Προβλήθηκε 1205 φορές

#5

KARKAR έγραψε: Τετ Μάιος 10, 2023 8:01 pm Άλλη μια όμορφη καθετότητα.pngΤο είναι το ορθόκεντρο του οξυγωνίου τριγώνου . Η διάμεσος ,

τέμνει - προεκτεινόμενη - τον περίκυκλο του τριγώνου στο σημείο και έστω

, το συμμετρικό του , ως προς . Δείξτε ότι : $HS' \perp AM$ .

Μία μετρική.

: Άλλη μια όμορφη καθετότητα.png (15.14 KiB) Προβλήθηκε 1172 φορές

$\displaystyle AH \cdot AD = AE \cdot b = bc\cos A = \frac{{{b^2} + {c^2} - {a^2}}}{2} = \frac{{2{b^2} + 2{c^2} - {a^2}}}{4} - \frac{{{a^2}}}{4}$

$\displaystyle = A{M^2} - \frac{{{a^2}}}{4} = A{M^2} - AM \cdot MS = AM(AM - MS) \Leftrightarrow$ $\boxed{AH \cdot AD = AS' \cdot AM}$

Άρα το HS'MD

είναι εγγράψιμο και το ζητούμενο έπεται.

#6

Μία όμορφη παρατήρηση.

: συντρέχουν στο Τ.png (17.77 KiB) Προβλήθηκε 1117 φορές

Με τις προϋποθέσεις της αρχικής άσκησης, αν BE, CF

είναι ύψη του ABC,

να δείξετε ότι οι ευθείες EF, S'H, CB

διέρχονται από το ίδιο σημείο.

#7

george visvikis έγραψε: Σάβ Μάιος 13, 2023 6:17 pm Μία όμορφη παρατήρηση. συντρέχουν στο Τ.png
Με τις προϋποθέσεις της αρχικής άσκησης, αν είναι ύψη του

να δείξετε ότι οι ευθείες διέρχονται από το ίδιο σημείο.

Στο σχήμα του Γιώργου στην προηγούμενη ανάρτηση

Αν

είναι το σημείο τομής της ημιευθείας

με τον κύκλο , τότε επειδή η ημιευθεία

διέρχεται από το αντιδιαμετρικό του

, θα είναι $\angle HDA={{90}^{0}}\Rightarrow D,A,E,H,F$ ομοκυκλικά (σε κύκλο διαμέτρου

και με

ομοκυκλικα (σε κύκλο διαμέτρου

) οι

διέρχονται από το ίδιο σημείο

, ως το ριζικό κέντρο των ανά δύο τεμνομένων κύκλων $\left( D,A,E,H,F \right),\left( F,E,C,B \right),\left( A,B,C \right)$
Τότε στο τρίγωνο $\vartriangle ATM$ οι AH,MH

είναι οι φορείς των δύο υψών τους και συνεπώς το

είναι το ορθόκεντρο (και) αυτού του τριγώνου , συνεπώς $TH\bot AM\overset{H{S}'\bot AM}{\mathop{\Rightarrow }}\,T,H,{S}'$ συνευθειακά και συνεπώς οι FE,H{S}',BC

διέρχονται από το ίδιο σημείο και το ζητούμενο έχει αποδειχθεί.

Henri van Aubel · #8

george visvikis έγραψε: Σάβ Μάιος 13, 2023 6:17 pm Μία όμορφη παρατήρηση. συντρέχουν στο Τ.png
Με τις προϋποθέσεις της αρχικής άσκησης, αν είναι ύψη του

να δείξετε ότι οι ευθείες διέρχονται από το ίδιο σημείο.

Υποθέτω ότι οι ευθείες

,

τέμνονται στο σημείο

. Τότε, η

είναι η πολική του

ως προς τον κύκλο $\left ( BFEC \right )$ οπότε $TH\perp AM$ κι αφού $HS{'}\perp AM$ (αρχική άσκηση KARKAR), έπεται η ζητούμενη συντρέχεια... (σημείωση: πατώντας τη φράση κλειδί ''όμορφη καθετότητα'', έπεσα πάνω σε αυτό το ωραίο ...)

Άλλη μια όμορφη καθετότητα

Άλλη μια όμορφη καθετότητα

Re: Άλλη μια όμορφη καθετότητα

Re: Άλλη μια όμορφη καθετότητα

Re: Άλλη μια όμορφη καθετότητα

Re: Άλλη μια όμορφη καθετότητα

Re: Άλλη μια όμορφη καθετότητα

Re: Άλλη μια όμορφη καθετότητα

Re: Άλλη μια όμορφη καθετότητα

Μέλη σε σύνδεση