Διάκεντρος

KARKAR · #1

: Διάκεντρος.png (17.79 KiB) Προβλήθηκε 530 φορές

Το ένα από τα σημεία τομής των κύκλων (O,2)

και

, ονομάσαμε

, από το οποίο φέραμε

τα εφαπτόμενα τμήματα AB , AC

. Αν :

, υπολογίστε την διάκεντρο

.

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Δευ Ιουν 05, 2023 7:57 pm
Διάκεντρος.pngΤο ένα από τα σημεία τομής των κύκλων και , ονομάσαμε , από το οποίο φέραμε

τα εφαπτόμενα τμήματα . Αν : , υπολογίστε την διάκεντρο .

Πριν ακόμη πετύχουμε την ισοδυναμία ,ας είναι

το αντιδιαμετρικό του

.

Στο ισοσκελές , $\vartriangle KCB$ η $\widehat {CKA} = \widehat {D_{}^{}} + \widehat {DAK} = 2\widehat {\theta _{}^{}}$ .

Ομοίως και $\widehat {AOB} = 2\widehat {\theta _{}^{}}$ κατά συνέπεια $\vartriangle KCA \approx \vartriangle OAB$ με λόγο ομοιότητας $\lambda = \dfrac{3}{2}\,\,\left( 1 \right)$ .

Είναι γνωστό ( και απλό να δειχθεί) ότι $\widehat {\theta _{}^{}} + \widehat {BAC} = 180^\circ \,\,\left( 2 \right)$ .

: Διάκεντρος.png (27.21 KiB) Προβλήθηκε 497 φορές

Έστω τώρα ότι λύσαμε το πρόβλημα και $\left( {ABC} \right) = \left( {AOK} \right) = E$ ,

οπότε ο λόγος των εμβαδών τους είναι

και αφού στο

έχουν τις γωνίες παραπληρωματικές θα έχω:

$1 = \dfrac{{\left( {KAC} \right)}}{{\left( {OAB} \right)}} = \dfrac{{AC \cdot AB}}{{KA \cdot KC}} = \dfrac{{bc}}{6} \Rightarrow bc = 6\,\,\,\left( 3 \right)$ , αλλά λόγω της $\left( 1 \right)$ $\dfrac{b}{c} = \dfrac{3}{2}$ και άρα αναγκαστικά $\boxed{b = 3\,\,\kappa \alpha \iota \,\,c = 2}$ .

Τώρα τα $\vartriangle KAC\,\,\,\vartriangle OAB$ είναι ισόπλευρα και έτσι $\theta = 30^\circ$ οπότε από Θ. συνημίτονου στο AOK

έχω:

$O{K^2} = {x^2} = 4 + 9 - 6\sqrt 3 \Rightarrow \boxed{OK = \sqrt {13 - 6\sqrt 3 } }$ .

Διάκεντρος

Διάκεντρος

Re: Διάκεντρος

Μέλη σε σύνδεση