Σταθερό αν και μεταβλητό

KARKAR · #1

: Σταθερό αν και μεταβλητό.png (22.15 KiB) Προβλήθηκε 697 φορές

Οι κύκλοι (O,R)

και

με διάκεντρο OK=d

, τέμνονται στα σημεία A, B

. Από σημείο

του

,

φέρουμε τις SA ,SB

, οι οποίες ξανατέμνουν τον (K)

στα σημεία P,Q

. Υπολογίστε το τμήμα

.

Henri van Aubel · #2

Είναι $\displaystyle \frac{PQ}{r}=2\sin \angle PBQ=2\sin \left ( \angle AOK+\angle AKO \right )=2\sin \angle OAK$
Όμως:
$\displaystyle \cos \angle OAK=\frac{R^{2}+r^{2}-d^{2}}{2Rr}\Rightarrow \sin \angle OAK=\frac{\sqrt{4R^{2}r^{2}-\left ( R^{2}+r^{2}-d^{2} \right )^{2}}}{2Rr}$

Επομένως, $\displaystyle \frac{PQ}{r}=\frac{\sqrt{4R^{2}r^{2}-\left ( R^{2} +r^{2}-d^{2}\right )^{2}}}{Rr}\Leftrightarrow \boxed{PQ=\frac{\sqrt{4R^{2}r^{2}-\left ( R^{2} +r^{2}-d^{2}\right )^{2}}}{R}}$ .

#3

Τα τρίγωνα SAB, SQP

είναι προφανώς όμοια. Επίσης οι κόκκινες γωνίες είναι ίσες όπως και οι μπλε.

Άρα και τα AOK, ASQ

είναι όμοια. Από αυτές τις ομοιότητες έχω:

: Σταθερό αν και μεταβλητό.png (20.62 KiB) Προβλήθηκε 664 φορές

$\displaystyle \frac{{AB}}{{PQ}} = \frac{{SA}}{{SQ}} = \frac{R}{d} \Leftrightarrow$ $\boxed{PQ = \frac{{d \cdot AB}}{R}}$ ή αλλιώς $\displaystyle PQ = \frac{{4(AOK)}}{R}$

#4

george visvikis έγραψε: Σάβ Ιούλ 22, 2023 5:17 pm Τα τρίγωνα είναι προφανώς όμοια. Επίσης οι κόκκινες γωνίες είναι ίσες όπως και οι μπλε.

Άρα και τα είναι όμοια. Από αυτές τις ομοιότητες έχω: Σταθερό αν και μεταβλητό.png
$\displaystyle \frac{{AB}}{{PQ}} = \frac{{SA}}{{SQ}} = \frac{R}{d} \Leftrightarrow$ $\boxed{PQ = \frac{{d \cdot AB}}{R}}$ ή αλλιώς $\displaystyle PQ = \frac{{4(AOK)}}{R}$

Με συνοπτικές διαδικασίες.

#5

KARKAR έγραψε: Σάβ Ιούλ 22, 2023 4:05 pm Σταθερό αν και μεταβλητό.pngΟι κύκλοι και με διάκεντρο , τέμνονται στα σημεία . Από σημείο του ,

φέρουμε τις , οι οποίες ξανατέμνουν τον στα σημεία . Υπολογίστε το τμήμα .

Φέρνω το εφαπτόμενο τμήμα SF = m

από το

στον κύκλο $\left( {K,r} \right)$ και αντιστρέφω τον κύκλο $\left( {O,R} \right)$ με πόλο το

και δύναμη αντιστροφής ${m^2}$ .

Προκύπτει η ευθεία ,

.Το αντίστοιχο του

είναι το

και του

, το

.

Αφού το AB = u

είναι σταθερό κατά θέση και μέγεθος το αντίστοιχό του PQ = x

είναι σταθερό κατά μέγεθος .

: Σταθερό αν και μεταβλητό_new_με αντιστροφή.png (34.08 KiB) Προβλήθηκε 615 φορές

Έστω

(σταθερή διάκεντρος). Για τον υπολογισμό του

έχω:

$\dfrac{u}{x} = \dfrac{{SA}}{{SQ}} = \dfrac{{OA}}{{OK}} = \dfrac{R}{d} \Rightarrow \boxed{x = \dfrac{{ud}}{R}}$

Προφανώς παρεμφερής λύση μ αυτή του αγαπητού Γιώργου Βισβίκη .

Παρατήρηση .

Είναι γνωστό ότι στην αντιστροφή τα μεγέθη δεν διατηρούνται (εν γένει) εν αντιθέσει με τις γωνίες .

Επίσης η αντιστροφή με ίδιο πόλο και ίδια δύναμη αντιστροφής του κύκλου $\left( {K,r} \right)$ τον αφήνει αναλλοίωτο και οι δύο αυτοί κύκλοι $\left( {O,R} \right)\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\left( {K,r} \right)$ είναι ομοιόθετοι.

Σταθερό αν και μεταβλητό

Σταθερό αν και μεταβλητό

Re: Σταθερό αν και μεταβλητό

Re: Σταθερό αν και μεταβλητό

Re: Σταθερό αν και μεταβλητό

Re: Σταθερό αν και μεταβλητό

Μέλη σε σύνδεση