Αναμενόμενη ανισότητα , αναπάντεχη ισότητα

[KARKAR]

Αναμενόμενη ανισότητα , αναπάντεχη ισότητα.png (16.47 KiB) Προβλήθηκε 652 φορές

Από σημείο το οποίο βρίσκεται πάνω στην εφαπτομένη στο άκρο της διαμέτρου , ενός κύκλου ,

φέρουμε την τέμνουσα , η οποία τέμνει την διάμετρο σε σημείο , "χαμηλότερο" του και την ,

η οποία τέμνει τις στα σημεία , αντίστοιχα . Δείξτε ότι : και : .

[S.E.Louridas]

Από σημείο το οποίο βρίσκεται πάνω στην εφαπτομένη στο άκρο της διαμέτρου , ενός κύκλου , φέρουμε την τέμνουσα , η οποία τέμνει την διάμετρο σε σημείο , "χαμηλότερο" του και την , η οποία τέμνει τις στα σημεία , αντίστοιχα . Δείξτε ότι : και : .

Για το πρώτο:
οπότε η κάθετη επί την δίνει το μέσο αριστερά του

Για το δεύτερο:
Θεωρούμε από το την παράλληλη στην που που τέμνει τις στα σημεία αντίστοιχα. Από το εγγράψιμο

προκύπτει το εγγράψιμο οπότε παίρνουμε άρα οι είναι παράλληλες

οπότε συνεπώς

[Mihalis_Lambrou]

Θεωρούμε από το την παράλληλη στην ...

Σωτήρη, το βήμα παραπάνω μου έδωσε διπλή χαρά. Πέρα από την κομψή σου λύση δείχνει την συνάφεια που μπορεί να έχουν τα Μαθηματικά σε θέματα που φαίνονται ασύνδετα. Συγκεκριμένα, φέρνουμε την δεύτερη εφαπτομένη του κύκλου από το , και έστω ότι τέμνει τον κύκλο στο . Tότε αποδεικνύεται ότι και η είναι παράλληλη της .

Γιατί τα λέω αυτά; Διότι τώρα βλέπουμε ότι η κατάσταση που περιγράφει η Άσκηση είναι στο ίδιο μήκος κύματος με το Θεώρημα του Αρχιμήδη που ανάρτησα πριν από λίγες μέρες εδώ (βλέπε ποστ #5). Η απόδειξη του Αρχιμήδη προσαρμόζεται εδώ και, αντίστροφα, η λύση σου προσαρμόζεται εκεί.

Θανάση: Υποθέτω ότι με αυτά κατά νου κατασκεύασες την άσκηση. Σωστά; Αλλιώς έχουμε μία ωραία σύμπτωση που δείχνει άλλη μια φορά ότι ο κορμός των Μαθηματικών είναι ένας.

[KARKAR]

2012 Cyprus TST 1.4

Κύπρος.png (23.47 KiB) Προβλήθηκε 593 φορές

Let be the center of the circumcircle of the triangle and its diameter. Tangent of at point ,

intersects line at point . If intersects lines and at points and respectively and the

perpendicular on at point , intersects at point , prove that .

[S.E.Louridas]

τώρα βλέπουμε ότι η κατάσταση που περιγράφει η Άσκηση είναι στο ίδιο μήκος κύματος με το Θεώρημα του Αρχιμήδη που ανάρτησα πριν από λίγες μέρες εδώ (βλέπε ποστ #5). Η απόδειξη του Αρχιμήδη προσαρμόζεται εδώ και, αντίστροφα, η λύση σου προσαρμόζεται εκεί.

Έχουμε μία ωραία σύμπτωση που δείχνει άλλη μια φορά ότι ο κορμός των Μαθηματικών είναι ένας.

Μιχάλη όσο μεγαλώνουμε γινόμαστε πιο σοφοί (ήδη 65 αρίσαμε, εκτός και αν βάζουμε κάτι παραπάνω για να μας ... σέβονται), και παρόλα αυτά υπάρχουν πολλά ανεξήγητα και λόγω συμπτώσεων πράγματα. Δεν περίμενα αυτή την σύμπτωση. Και συνεχίζοντας αναφέρω εδώ ότι η εργασία που σχεδόν τελείωσα για το επερχόμενο συνέδριο είναι για να γίνει κατανοητό επί του πρακτέου αυτό που εσύ λιτά και απόλυτα συνθετικά ανέφερες: Ο κορμός των Μαθηματικών είναι ένας NAI. Μάλιστα ο άριστος συνάδελφος Ιάσων Κωνσταντόπουλος ένα θέμα που κατασκεύασα ακριβώς για αυτό τον σκοπό, Γηγενές Γεωμετρικό, το επέλυσε με ένα άριστο άλλο τρόπο σε περιβάλλον απειροστικού λογισμού, που και αυτόν επώνυμα κάτω δηλαδή από το ονοματεπώνυμο του Ιάσσονα θα αναφέρω στο συνέδριο. Τα μαθηματικά των συμπτώσεων; ... Ίσως , αρκεί να βρούμε το βασικό αξίωμα εκκίνησης.