Τύπος ορθογωνίου τριγώνου

KARKAR · #1

: Τύπος ορθογωνίου.png (12.1 KiB) Προβλήθηκε 319 φορές

Να βρεθεί ο "τύπος" ορθογωνίου τριγώνου ABC

, στο οποίο το τμήμα που συνδέει το έγκεντρο με το βαρύκεντρο

είναι παράλληλο προς την κάθετη πλευρά AB=c

και να υπολογισθεί το τμήμα

, συναρτήσει του

.

#2

KARKAR έγραψε: Σάβ Οκτ 12, 2024 9:21 am Τύπος ορθογωνίου.pngΝα βρεθεί ο "τύπος" ορθογωνίου τριγώνου , στο οποίο το τμήμα που συνδέει το έγκεντρο με το βαρύκεντρο

είναι παράλληλο προς την κάθετη πλευρά και να υπολογισθεί το τμήμα , συναρτήσει του .

Επειδή το

είναι στην διχοτόμο της

, έχουμε $\dfrac {CA}{AD} = \dfrac {CI}{ID}$ . Αλλά λόγω της παραλληλίας IG//AC

έχουμε για το δεύτερο κλάσμα ότι $\dfrac {CI}{ID} = \dfrac {CG}{GM} = \dfrac {2}{1}$ . Συγκρίνοντας, έπεται

$\dfrac {CA}{AD} = \dfrac {2}{1}$ , ισοδύναμα $b = 2 \dfrac {bc}{a+b}$ . Άρα a+b= 2c

.

Από την προηγούμενη και την a^2=b^2+c^2

έχουμε

και άρα

. Άρα το ορθογώνιο τρίγωνο είναι της μορφής $\boxed { b=3t,\, c=4t,\, a=5t}$ .

Τέλος

$IG = \dfrac {2}{3} DM= \dfrac {2}{3} (AM - AD) = \dfrac {2}{3} \left (\dfrac {c}{2} - \dfrac {bc}{a+b} \right ) = \dfrac {2c}{3} \left (\dfrac {1}{2} - \dfrac {b}{a+b} \right ) =$

$= \dfrac {2c}{3} \left (\dfrac {1}{2} - \dfrac {3t}{5t+3t} \right ) =\dfrac {1}{12} c$
.

#3

KARKAR έγραψε: Σάβ Οκτ 12, 2024 9:21 am Τύπος ορθογωνίου.pngΝα βρεθεί ο "τύπος" ορθογωνίου τριγώνου , στο οποίο το τμήμα που συνδέει το έγκεντρο με το βαρύκεντρο

είναι παράλληλο προς την κάθετη πλευρά και να υπολογισθεί το τμήμα , συναρτήσει του .

Πρέπει ταυτόχρονα .

$\left\{ \begin{gathered} a + b = 2c \hfill \\ {a^2} = {b^2} + {c^2} \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow \boxed{\frac{b}{c} = \frac{3}{4}}$

Δηλαδή έχω την κλασική περίπτωση : $AB = 4k\,,\,BC = 5k\,,\,CA = 3k$

Αν IG = x

θα έχω: $\boxed{\frac{{2x}}{{4k - 3k}} = \frac{2}{3} \Rightarrow x = \frac{k}{3} = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{4}c}$

Γενικά αν έχω $\vartriangle ABC$ με διάμεσο

και διχοτόμο

εφ όσον

θα ισχύουν :

$\boxed{\left\{ \begin{gathered} \frac{c}{{BD}} = \frac{{AB}}{{BD}} = \frac{{AI}}{{ID}} = \frac{{AG}}{{GM}} = 2 \hfill \\ BD = \frac{{a \cdot c}}{{b + c}} \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow b + c = 2a}$

Τύπος ορθογωνίου τριγώνου

Τύπος ορθογωνίου τριγώνου

Re: Τύπος ορθογωνίου τριγώνου

Re: Τύπος ορθογωνίου τριγώνου

Μέλη σε σύνδεση