Καθετότητες και παραλληλίες

#1

Έστω

η διχοτόμος και

το περίκεντρο τριγώνου ABC (AB<AC).

Η κάθετη από το

στην

τέμνει την

παράλληλη από το

στην

στο

και η κάθετη από το

στην

την παράλληλη από το

στην

στο

Να

δείξετε ότι α) Οι ευθείες AD, BF, CE

διέρχονται από το ίδιο σημείο και β) Η

διέρχεται από το μέσο του EF.

#2

Τα τρίγωνα ABE, ACF

είναι όμοια με γωνίες 90^o-A

,

.

α) Ας πούμε ότι η

τέμνει την

στο

και την

στο

.
Αρκεί να δείξουμε ότι DS_1=DS_2

.

Από

, και με το θεώρημα διχοτόμου παίρνουμε

DS_1/BE=CD/CB=c/(c+b)

και όμοια

Από την ομοιότητα των τριγώνων ABE, ACF

είναι

.

Οι τρεις παραπάνω σχέσεις δίνουν το ζητούμενο DS_1=DS_2

.

β) Αν η παράλληλη στην διχοτόμο από το μέσο

της

τμήσειτην ακτίνα

στο

, αρκεί να δείξουμε ότι MN=MT.

Ειναι

Από νόμο ημιτόνων στα τρίγωνα ABE, ACF

και με τους τύπους αναγωγής στο πρώτο τεταρτημόριο παίρνουμε

BE/cosA=c/cos(A/2), CF/cosA=b/cos(A/2)

Λύνουμε ως προς BE,CF,

αντικαθιστούμε παραπάνω και παίρνουμε

MN=1/2(b+c)cosA/cos(A/2)= ... =2RcosAcos((B-C)/2)=MT