Ημικυκλικός κόμβος

KARKAR · #1

: Ημικυκλικός κόμβος.png (13.06 KiB) Προβλήθηκε 216 φορές

Στην κάθετη στο άκρο

, της διαμέτρου AOB=2r

, ενός ημικυκλίου , κινείται σημείο

, από το οποίο

φέρουμε το άλλο εφαπτόμενο τμήμα

. α) Δείξτε ότι : $TA \parallel SO$ ... β) Βρείτε την θέση του σημείου

,

στην περίπτωση που :

$TA=\dfrac{2}{3}SO$ , ii)

,

Μεγιστοποιείται το εμβαδόν του ATS

.

#2

KARKAR έγραψε: Κυρ Απρ 27, 2025 8:42 am Ημικυκλικός κόμβος.pngΣτην κάθετη στο άκρο , της διαμέτρου , ενός ημικυκλίου , κινείται σημείο , από το οποίο

φέρουμε το άλλο εφαπτόμενο τμήμα . α) Δείξτε ότι : $TA \parallel SO$ ... β) Βρείτε την θέση του σημείου ,

στην περίπτωση που : $TA=\dfrac{2}{3}SO$ , , Μεγιστοποιείται το εμβαδόν του .

Το α ) προφανές αφού $TA\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,SO$ είναι κάθετες στην

: Ημικυκλικός κόμβος.png (13.95 KiB) Προβλήθηκε 203 φορές

Για το 2ο ερώτημα που έχει τρία σκέλη :

Το 1 σκέλος με

το μέσο του

το τετράπλευρο TAES

να είναι παραλληλόγραμμο , εύκολα προκύπτει: $BS = r\sqrt 2$

: Ημικυκλικός κόμβος_a_ok.png (21.22 KiB) Προβλήθηκε 203 φορές

Το 2 σκέλος πρέπει : $BS = \sqrt {\dfrac{{\sqrt {17} - 1}}{2}} \cdot r$

: Ημικυκλικός κομβος_b_ok.png (26.39 KiB) Προβλήθηκε 203 φορές

ενώ στο 3ο σκέλος πρέπει BS = r

: Ημικυκλικός κομβος_c_ok.png (17.15 KiB) Προβλήθηκε 203 φορές

#3

KARKAR έγραψε: Κυρ Απρ 27, 2025 8:42 am Ημικυκλικός κόμβος.pngΣτην κάθετη στο άκρο , της διαμέτρου , ενός ημικυκλίου , κινείται σημείο , από το οποίο

φέρουμε το άλλο εφαπτόμενο τμήμα . α) Δείξτε ότι : $TA \parallel SO$ ... β) Βρείτε την θέση του σημείου ,

στην περίπτωση που : $TA=\dfrac{2}{3}SO$ , , Μεγιστοποιείται το εμβαδόν του .

Το α ) προφανές αφού $TA\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,SO$ είναι κάθετες στην

.

: Ημικυκλικός κόμβος.png (13.95 KiB) Προβλήθηκε 174 φορές

.
Για το 2ο ερώτημα που έχει τρία σκέλη :

Το 1 σκέλος με

το μέσο του

το τετράπλευρο TAES

να είναι παραλληλόγραμμο. Ας είναι , AT = 2m

άρα

.

: Ημικυκλικός κόμβος_a_ok.png (21.22 KiB) Προβλήθηκε 174 φορές

Από Θ. Ευκλείδη στο $\vartriangle BSO$ , $O{B^2} = OE \cdot OS \Rightarrow {r^2} = m \cdot 3m = 3{m^2}\,\,\left( 1 \right)$ . Επειδή $B{S^2} = SE \cdot SO = 3m \cdot 2m = 6{m^2}$

λόγω της $\left( 1 \right)$ προκύπτει , $B{S^2} = 2{r^2}$ και κατά συνέπεια , $\boxed{BS = r\sqrt 2 }$ .

Στο 2 σκέλος :

Ας είναι Z,H

τα αντιδιαμετρικά σημεία που η

τέμνει το πάνω και κάτω ημικύκλιο . Η τετράδα $\left( {E,S\backslash H,Z} \right)$ είναι αρμονική

το δε τετράπλευρο THBZ

αρμονικό . Στην αρμονική αναλογία, $\dfrac{{ZE}}{{ZS}} = \dfrac{{HE}}{{HS}}$ με k = SZ

έχω : $\dfrac{{r - m}}{k} = \dfrac{{r + m}}{{2r + k}} \Rightarrow k = \dfrac{{r\left( {r - m} \right)}}{m}\,\,\,\,\left( 2 \right)$ .

: Ημικυκλικός κομβος_b_ok.png (26.39 KiB) Προβλήθηκε 174 φορές

Από τη δύναμη του

ως προς τον κύκλο $\left( {O,r} \right)$ έχω : $B{S^2} = SZ \cdot SH \Rightarrow 4{m^2} = k\left( {k + 2r} \right)$ που λόγω της

γίνεται:

$4{m^4} + {r^2}{m^2} - {r^4} = 0$ . Διτετράγωνη ως προς

με δεκτή λύση : $m = r\sqrt {\dfrac{{\sqrt {17} - 1}}{8}} \Rightarrow \boxed{BS = 2m = r\sqrt {\dfrac{{\sqrt {17} - 1}}{2}} }$ .

Τέλος για το μέγιστο εμβαδόν του $\vartriangle ATS$
.

: Ημικυκλικός κομβος_c_ok.png (17.15 KiB) Προβλήθηκε 174 φορές

.
$\left( {ATS} \right) = \left( {ATO} \right)$ που γίνεται μέγιστο αν το ύψος προς την βάση

γίνει

δηλαδή

Ημικυκλικός κόμβος

Ημικυκλικός κόμβος

Re: Ημικυκλικός κόμβος

Re: Ημικυκλικός κόμβος

Μέλη σε σύνδεση