Άφατος ρητός

KARKAR · #1

: Άφατος ρητός.png (11.46 KiB) Προβλήθηκε 578 φορές

Στο τρίγωνο ABC

, η διάμεσος

είναι κάθετη στην διχοτόμο

και επιπλέον είναι : BD=AC

.

Υπολογίστε το $\cos B$ .

#2

KARKAR έγραψε: Δευ Αύγ 18, 2025 6:55 am Άφατος ρητός.pngΣτο τρίγωνο , η διάμεσος είναι κάθετη στην διχοτόμο και επιπλέον είναι : .

Υπολογίστε το $\cos B$ .

Λόγω της διχοτόμου αλλά και της καθετότητας είναι a=2c.

: Άφατος ρητός.png (11.61 KiB) Προβλήθηκε 570 φορές

$\displaystyle {b^2} = B{D^2} = ac - \frac{{a{b^2}c}}{{{{(a + c)}^2}}}\mathop \Rightarrow \limits^{a = 2c} {b^2} = \frac{{18{c^2}}}{{11}}$

$\displaystyle \cos B = \frac{{{a^2} + {c^2} - {b^2}}}{{2ac}}$ και με αντικατάσταση των a,b

συναρτήσει του

παίρνω, $\boxed{\cos B=\dfrac{37}{44}}$

#3

KARKAR έγραψε: Δευ Αύγ 18, 2025 6:55 am Άφατος ρητός.pngΣτο τρίγωνο , η διάμεσος είναι κάθετη στην διχοτόμο και επιπλέον είναι : .

Υπολογίστε το $\cos B$ .

: afatos.png (16.31 KiB) Προβλήθηκε 549 φορές

Παραλλαγή: Αφού λόγω διχοτόμου έχουμε AD:DC=AB:BC=1:2

, έπεται ότι $AD = \dfrac {b}{3}, \, DC = \dfrac {2b}{3}$ . Τώρα από τον Νόμο των Συνημιτόνων σε καθένα από τα τρίγωνα $ABD, \, DBC$ έχουμε

$\displaystyle{ \dfrac {c^2+b^2- \dfrac {b^2}{9} }{2cb} = \cos \dfrac {B}{2} = \dfrac {4c^2+b^2- \dfrac {4b^2}{9} }{2(2c)b}}$ .

Άρα $b^2=\dfrac {18c^2}{11}$ , και τελειώνουμε όπως ο Γιώργος για το $\cos B$ .

#4

KARKAR έγραψε: Δευ Αύγ 18, 2025 6:55 am Άφατος ρητός.pngΣτο τρίγωνο , η διάμεσος είναι κάθετη στην διχοτόμο και επιπλέον είναι : .

Υπολογίστε το $\cos B$ .

Το τετράπλευρο ABMD

είναι χαρταετός με $AD = DM = k\,\,\kappa \alpha \iota \,\,BA = BM = m$ .

Φέρνω από το

παράλληλη στην

και τέμνει την ευθεία ,

στο

.

Επειδή , AB = BM = MC

θα είναι , $MD// = \dfrac{1}{2}TB$ και TD = DC = 2k

, έτσι $\vartriangle TBA = \vartriangle DCM$ .

Θέτω , MS = SA = z

.Από την υπόθεση AC = BD

άρα

.
.

: Άφατος Ρητός.png (19.76 KiB) Προβλήθηκε 503 φορές

.
Από το Θ. διαμέσων στα , $\vartriangle DBC\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\vartriangle ABC$ έχω : $11{k^2} = 2{m^2}\,\,\,\left( 1 \right)\,\,\kappa \alpha \iota \,\,16{z^2} = 7{k^2}\,\,\,\left( 2 \right)$ και μετά από το Θ.

Συνημίτονου στο ισοσκελές , $\vartriangle BMA$ και λόγω των $\left( 1 \right)\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,\left( 2 \right)$ προκύπτει : $\boxed{\cos B = \dfrac{{37}}{{44}}}$

Μιχάλης Τσουρακάκης · #5

KARKAR έγραψε: Δευ Αύγ 18, 2025 6:55 am Άφατος ρητός.pngΣτο τρίγωνο , η διάμεσος είναι κάθετη στην διχοτόμο και επιπλέον είναι : .

Υπολογίστε το $\cos B$ .

$\dfrac{AD}{DC}= \dfrac{c}{2c}= \dfrac{1}{2} \Rightarrow AD= \dfrac{b}{3}$

Με

μέσον της

θα είναι $ME= \dfrac{BD}{2} = \dfrac{b}{2},SD= \dfrac{ME}{2} = \dfrac{b}{4}$ άρα $BS=b- \dfrac{b}{4} = \dfrac{3b}{4}$

Με θ.διαμέσου στο $\triangle MSD \Rightarrow b^2+ \dfrac{4b^2}{9}=2 \dfrac{b^2}{9} + 2c^2 \Rightarrow \dfrac{b^2}{c^2} = \dfrac{18}{11}$

$cosB=2cos^2 \dfrac{B}{2}-1=2. \dfrac{ \dfrac{9b^2}{16} }{c^2} -1 = 2.\dfrac{9}{16}. \dfrac{b^2}{c^2} -1 \Rightarrow cosB= \dfrac{37}{44}$

: Άφατος ρητός.png (20.9 KiB) Προβλήθηκε 497 φορές

Άφατος ρητός

Άφατος ρητός

Re: Άφατος ρητός

Re: Άφατος ρητός

Re: Άφατος ρητός

Re: Άφατος ρητός

Μέλη σε σύνδεση