Ισότητα ανομοίων 2

KARKAR · #1

: Ισότητα ανομοίων 2.png (24.17 KiB) Προβλήθηκε 782 φορές

Πάνω στο ημικύκλιο διαμέτρου AB=2r

, εντοπίστε σημεία S , T

, τέτοια ώστε : TS=2SB

και :

.

#2

KARKAR έγραψε: Δευ Αύγ 25, 2025 6:04 am Ισότητα ανομοίων 2.pngΠάνω στο ημικύκλιο διαμέτρου , εντοπίστε σημεία , τέτοια ώστε :

και : .

Από την ισότητα των εμβαδών προκύπτει $\displaystyle xAS = 2xAP \Leftrightarrow AP = \frac{{AS}}{2} \Leftrightarrow T\widehat SA = 30^\circ$

: Ισότητα ανομοίων 2.png (20.59 KiB) Προβλήθηκε 761 φορές

Άρα, $\displaystyle BT = R\sqrt 3 ,T\widehat SB = 120^\circ$ και με νόμο συνημιτόνου στο STB:

$\displaystyle 3{R^2} = 4{x^2} + {x^2} + 2{x^2} \Leftrightarrow$ $\boxed{x = R\sqrt {\frac{3}{7}}}$

STOPJOHN · #3

KARKAR έγραψε: Δευ Αύγ 25, 2025 6:04 am Ισότητα ανομοίων 2.pngΠάνω στο ημικύκλιο διαμέτρου , εντοπίστε σημεία , τέτοια ώστε :

και : .

Είναι $(ATS)=(ASB)\Rightarrow TM=SB=x, [K] =AS\bigcap TB,\hat{ATB}=90^{0},AT^{2}=AM.AK,(1),ASB,AM=\sqrt{4r^{2}-x^{2}}-x\sqrt{3},(2), AK=AM+\dfrac{x\sqrt{3}}{2},(3),ATM,AT^{2}=4r^{2}+3x^{2}-2x\sqrt{3}\sqrt{4r^{2}-x^{2}},(4) (1) ,(2),(3),(4)\Rightarrow x=\dfrac{r\sqrt{3}}{\sqrt{7}}$

Μιχάλης Τσουρακάκης · #4

KARKAR έγραψε: Δευ Αύγ 25, 2025 6:04 am Ισότητα ανομοίων 2.pngΠάνω στο ημικύκλιο διαμέτρου , εντοπίστε σημεία , τέτοια ώστε :

και : .

$(ATS)=(ASB) \Rightarrow TZ=//SB=x \Rightarrow \angle TSA=30^0$

Έτσι, $\angle ZTS= \angle BZE= \angle BET=60^0$ [( TSBE

) είναι ισοσκελές τραπέζιο]

Το τρίγωνο λοιπόν ZBE

είναι ισόπλευρο,άρα ZE=2x

.Ακόμη $ES=BT=r \sqrt{3}$

Τώρα από Πτολεμαίο στο παραπάνω ισοσκελές τραπέζιο ,εύκολα $x=r \sqrt{ \dfrac{3}{7} }$

: Ισότητα ανόμοιων.png (19.46 KiB) Προβλήθηκε 734 φορές

Ιστοσελίδα · #5

KARKAR έγραψε: Δευ Αύγ 25, 2025 6:04 am Πάνω στο ημικύκλιο διαμέτρου , εντοπίστε σημεία , τέτοια ώστε :

και : .

: shape.png (21.93 KiB) Προβλήθηκε 702 φορές

Έστω $TC \bot AS\, \wedge \,TD \bot BS$ .

Από $(ATS) = (ASB) \Rightarrow TC = BS = x$ , οπότε $\angle STC = \angle TSD = \angle TAB = {60^ \circ }$ .

Από Π.Θ. στο $\triangle BDT:x = r\sqrt {\dfrac{3}{7}}$ .

Nikitas K. · #6

Θέτουμε

Εφαρμόζοντας διαδοχικά τη δεύτερη μετρική σχέση εδώ στο $\triangle ATS$ και $\triangle ASB$ λαμβάνουμε:

$\dfrac{2xAS \cdot AT}{4E} = r = \dfrac{2rxAS}{4E} \Leftrightarrow \fbox{AT = r \qquad \color{red} *}$

Εφαρμόζοντας διαδοχικά το Πυθαγόρειο θεώρημα στο $\triangle ASB$ και στο $\triangle ATB$ λαμβάνουμε:

$AS^2 = 4r^2 - x^2\qquad \color{green} *$

και

$TB^2 \overset{{\color{red} *}}{=} 3r^2 \qquad \color{blue} *$

Από το $1^{\circ}$ θεώρημα του Πτολεμαίου λαμβάνουμε:

$AS \cdot TB = 5rx \underset{{\color{blue} *}}{\overset{ {\color{green} *} }\Leftrightarrow} (4r^2 - x^2) 3r^2 = 25r^2x^2 \Leftrightarrow x= r\dfrac{\sqrt{21}}{7}$

: Ισότητα ανομοίων 2.png (44.7 KiB) Προβλήθηκε 684 φορές

Κατά την τελευταία επεξεργασία:
Διορθώθηκε τυπογραφικό (προστέθηκαν τα ξεχασμένα τεσσάρια στους παρονομαστές της μετρικής σχέσης...)

#7

KARKAR έγραψε: Δευ Αύγ 25, 2025 6:04 am Ισότητα ανομοίων 2.pngΠάνω στο ημικύκλιο διαμέτρου , εντοπίστε σημεία , τέτοια ώστε :

και : .

Επειδή τα $\vartriangle TAS\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,\vartriangle BAS$ έχουν ίσα εμβαδά και κοινή την

τα προς αυτή ύψη θα είναι ίσα , άρα TD = SB = x

.

: Ισότητα ανομοίων 2.png (27.14 KiB) Προβλήθηκε 648 φορές

Άμεση συνέπεια το $\vartriangle OAB$ είναι ισόπλευρο.

Κατασκευή .

: Ισότητα ανομοίων 2_κατασκευή.png (20.55 KiB) Προβλήθηκε 648 φορές

Αν

το κέντρο του ημικυκλίου , ο κύκλος $\left( {A,AO} \right)$ τέμνει το ημικύκλιο στο

.

Ο κύκλος του Απολλώνιου , για κάθε σημείο,

του οποίου , $\dfrac{{MT}}{{MB}} = \dfrac{2}{1}$ τέμνει το ημικύκλιο στο

. Τελειώσαμε

( Όπως θα έλεγε ο κ. Λάμπρου και με βάσει την εκφώνηση της άσκησης )

Ισότητα ανομοίων 2

Ισότητα ανομοίων 2

Re: Ισότητα ανομοίων 2

Re: Ισότητα ανομοίων 2

Re: Ισότητα ανομοίων 2

Re: Ισότητα ανομοίων 2

Re: Ισότητα ανομοίων 2

Re: Ισότητα ανομοίων 2

Μέλη σε σύνδεση