Ανομοιογενής ισότητα

KARKAR · #1

: Ανομοιογενής ισότητα.png (21.52 KiB) Προβλήθηκε 462 φορές

Σε έναν κύκλο , το

είναι το μέσο του ελάσσονος τόξου $\overset{\frown}{AB}$ , ενώ το

είναι τυχόν

σημείο του μείζονος (τόξου $\overset{\frown}{AB}$ ) . Να δειχθεί ότι : $MS^2-MA^2=SA \cdot SB$

#2

KARKAR έγραψε: Τρί Οκτ 21, 2025 6:03 am Ανομοιογενής ισότητα.pngΣε έναν κύκλο , το είναι το μέσο του ελάσσονος τόξου $\overset{\frown}{AB}$ , ενώ το είναι τυχόν

σημείο του μείζονος (τόξου $\overset{\frown}{AB}$ ) . Να δειχθεί ότι : $MS^2-MA^2=SA \cdot SB$

Έστω

η προβολή του

στην

και

: Ανομοιογενής ισότητα.png (16 KiB) Προβλήθηκε 439 φορές

Τα τρίγωνα SAM, SEM

έχουν

την

κοινή, τι πράσινες γωνίες ίσες και

$\displaystyle M\widehat AS = 180^\circ - M\widehat BS = M\widehat ES.$ Άρα είναι ίσα, οπότε SE=SA.

$\displaystyle S{M^2} - M{A^2} = S{M^2} - M{B^2} = S{D^2} - D{B^2} = SB(SD - DB) = SB \cdot SE = SA \cdot SB$

Μιχάλης Τσουρακάκης · #3

KARKAR έγραψε: Τρί Οκτ 21, 2025 6:03 am Ανομοιογενής ισότητα.pngΣε έναν κύκλο , το είναι το μέσο του ελάσσονος τόξου $\overset{\frown}{AB}$ , ενώ το είναι τυχόν

σημείο του μείζονος (τόξου $\overset{\frown}{AB}$ ) . Να δειχθεί ότι : $MS^2-MA^2=SA \cdot SB$

Θεωρώντας τον κύκλο (M,MA)

και λόγω της προφανούς ισότητας των πράσινων γωνιών ,

τα τρίγωνα DMS,MBS

είναι ίσα ,άρα SD=SB

$SA.SB=MS^2-MA^2\Leftrightarrow SA.SD=MS^2-AM^2$ που είναι αληθής

(Δύναμη του

ως προς τον κύκλο (M,MA)

)

: Ανομοιογενής ισότητα.png (39.16 KiB) Προβλήθηκε 420 φορές

STOPJOHN · #4

KARKAR έγραψε: Τρί Οκτ 21, 2025 6:03 am Ανομοιογενής ισότητα.pngΣε έναν κύκλο , το είναι το μέσο του ελάσσονος τόξου $\overset{\frown}{AB}$ , ενώ το είναι τυχόν

σημείο του μείζονος (τόξου $\overset{\frown}{AB}$ ) . Να δειχθεί ότι : $MS^2-MA^2=SA \cdot SB$

Έστω $AB//SP,BX\perp SP,MG\perp SP$

Τα ορθογώνια τρίγωνα $S\Pi B,BXP$ είναι όμοια ,γιατί ,

$\hat{SPB}=\hat{S\Pi B},\dfrac{SA}{B\Pi }=\dfrac{BX}{SB}\Leftrightarrow SA.SB=2R.d,d=XB=J\Omega$

Από μετρικές σχέσεις στα ορθογώνια τρίγωνα

$MSG,MAG,MS^{2}-M\Omega ^{2}=2R.M\Omega -2R.MJ=2R(M\Omega -MJ)=2R.I\Omega =2R.d$

Οπότε $MS^{2}-MA^{2}=SA.SB$

#5

KARKAR έγραψε: Τρί Οκτ 21, 2025 6:03 am Ανομοιογενής ισότητα.pngΣε έναν κύκλο , το είναι το μέσο του ελάσσονος τόξου $\overset{\frown}{AB}$ , ενώ το είναι τυχόν

σημείο του μείζονος (τόξου $\overset{\frown}{AB}$ ) . Να δειχθεί ότι : $MS^2-MA^2=SA \cdot SB$

.

: ανομοιογενής.png (21.08 KiB) Προβλήθηκε 373 φορές

.
Θα δούμε ότι ουσιαστικά η ζητούμενη είναι γεωμετρική μορφή της γνωστής ταυτότητας $\sin ^2 x-\sin ^2 y= \sin (x+y)\sin (x-y)$ . Πράγματι:

$MS^2-MA^2= (2R\sin A)^2-(2R\sin \theta )^2= 4R^2\sin (A+\theta)\sin (A-\theta)=$

$4R^2\sin (A+\theta)\sin (180-B -\theta)=(2R\sin (A+\theta))(2R\sin (B+\theta))= SA\cdot SB$

KARKAR · #6

Ομορφιές !

#7

Mihalis_Lambrou έγραψε: Τετ Οκτ 22, 2025 9:34 am
KARKAR έγραψε: Τρί Οκτ 21, 2025 6:03 am Ανομοιογενής ισότητα.pngΣε έναν κύκλο , το είναι το μέσο του ελάσσονος τόξου $\overset{\frown}{AB}$ , ενώ το είναι τυχόν

σημείο του μείζονος (τόξου $\overset{\frown}{AB}$ ) . Να δειχθεί ότι : $MS^2-MA^2=SA \cdot SB$
.
ανομοιογενής.png
.
Θα δούμε ότι ουσιαστικά η ζητούμενη είναι γεωμετρική μορφή της γνωστής ταυτότητας $\sin ^2 x-\sin ^2 y= \sin (x+y)\sin (x-y)$ . Πράγματι:

$MS^2-MA^2= (2R\sin A)^2-(2R\sin \theta )^2= 4R^2\sin (A+\theta)\sin (A-\theta)=$

$4R^2\sin (A+\theta)\sin (180-B -\theta)=(2R\sin (A+\theta))(2R\sin (B+\theta))= SA\cdot SB$

Εμπνευσμένο Μιχάλη

#8

KARKAR έγραψε: Τρί Οκτ 21, 2025 6:03 am Ανομοιογενής ισότητα.pngΣε έναν κύκλο , το είναι το μέσο του ελάσσονος τόξου $\overset{\frown}{AB}$ , ενώ το είναι τυχόν

σημείο του μείζονος (τόξου $\overset{\frown}{AB}$ ) . Να δειχθεί ότι : $MS^2-MA^2=SA \cdot SB$

Από το $\vartriangle ASB$ και τον τύπο . $\beta \gamma = 2R{\upsilon _a}$ έχω : $SA \cdot SB = 2Ry\left( 1 \right)$

Από το Θ. Ευκλείδη στα $\vartriangle SNM\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\vartriangle ANM$ έχω : $M{S^2} - M{A^2} = 2R \cdot MD - 2R \cdot MC = 2R\left( {MD - MC} \right) = 2Ry\,\,\left( 2 \right)$

: Ανομοιογενής ισότητα.png (22.31 KiB) Προβλήθηκε 325 φορές

Αφού τα δεύτερα μέλη των $\left( 1 \right)\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\left( 2 \right)$ είναι ίσα θα είναι και τα πρώτα , δηλαδή, $SA \cdot SB = M{S^2} - M{A^2}$

Ανομοιογενής ισότητα

Ανομοιογενής ισότητα

Re: Ανομοιογενής ισότητα

Re: Ανομοιογενής ισότητα

Re: Ανομοιογενής ισότητα

Re: Ανομοιογενής ισότητα

Re: Ανομοιογενής ισότητα

Re: Ανομοιογενής ισότητα

Re: Ανομοιογενής ισότητα

Μέλη σε σύνδεση