Αδυναμία σημείου ως προς ημικύκλιο

KARKAR · #1

: Αδυναμία σημείου ως προς ημικύκλιο.png (13.49 KiB) Προβλήθηκε 312 φορές

Στο εξωτερικό ημικυκλίου διαμέτρου AB=10

, θεωρώ σημείο

, τέτοιο ώστε οι SA , SB

να τέμνουν

το τόξο , στα σημεία P , T

αντίστοιχα . Υπολογίστε την τιμή της παράστασης : $SA \cdot PA+SB\cdot TB$

#2

KARKAR έγραψε: Τετ Νοέμ 19, 2025 7:50 am Αδυναμία σημείου ως προς ημικύκλιο.pngΣτο εξωτερικό ημικυκλίου διαμέτρου , θεωρώ σημείο , τέτοιο ώστε οι να τέμνουν

το τόξο , στα σημεία αντίστοιχα . Υπολογίστε την τιμή της παράστασης : $SA \cdot PA+SB\cdot TB$

: Αδυναμία σημείου.png (12.4 KiB) Προβλήθηκε 299 φορές

$\displaystyle SA \cdot PA + SB \cdot TB = SA(SA - SP) + SB(SB - ST) = S{A^2} + S{B^2} - 2(S{O^2} - {r^2})$

$\displaystyle SA \cdot PA + SB \cdot TB = 2S{O^2} + 2{r^2} - 2S{O^2} + 2{r^2} = 4{r^2} = 100$

STOPJOHN · #3

KARKAR έγραψε: Τετ Νοέμ 19, 2025 7:50 am Αδυναμία σημείου ως προς ημικύκλιο.pngΣτο εξωτερικό ημικυκλίου διαμέτρου , θεωρώ σημείο , τέτοιο ώστε οι να τέμνουν

το τόξο , στα σημεία αντίστοιχα . Υπολογίστε την τιμή της παράστασης : $SA \cdot PA+SB\cdot TB$

To σημείο

είναι το ορθόκεντρο του τριγώνου ASB

και το τετράπλευρο APNT

είναι εγγράψιμο σε κύκλο άρα

$AS.AP+SB.TB=AN.AT+BN.PB=AN^{2}+BN^{2}+2AN.NT= 2NO^{2}+50+50-2ON^{2}=100$

#4

KARKAR έγραψε: Τετ Νοέμ 19, 2025 7:50 am Στο εξωτερικό ημικυκλίου διαμέτρου , θεωρώ σημείο , τέτοιο ώστε οι να τέμνουν

το τόξο , στα σημεία αντίστοιχα . Υπολογίστε την τιμή της παράστασης : $SA \cdot PA+SB\cdot TB$

.

: αδυναμία.png (23.24 KiB) Προβλήθηκε 272 φορές

.
Λίγο αλλιώς: Από τα όμοια ορθογώνια τρίγωνα ASE, APB

έχουμε $SA \cdot PA = AE \cdot AB$ . Όμοια $SB \cdot TB = EB \cdot AB$ . Με πρόσθεση κατά μέλη παίρνουμε

$SA \cdot PA+SB\cdot TB = (AE + EB)\cdot AB = AB^2$ . Εδώ 100

.

(Γράφω από μέσα από το λεωφορείο των ΚΤΕΛ προς Λάρισα. Έχουν δικό τους εσωτερικό Wifi.

)

Μιχάλης Τσουρακάκης · #5

KARKAR έγραψε: Τετ Νοέμ 19, 2025 7:50 am Αδυναμία σημείου ως προς ημικύκλιο.pngΣτο εξωτερικό ημικυκλίου διαμέτρου , θεωρώ σημείο , τέτοιο ώστε οι να τέμνουν

το τόξο , στα σημεία αντίστοιχα . Υπολογίστε την τιμή της παράστασης : $SA \cdot PA+SB\cdot TB$

Μια λύση με χρήση εμβαδών..

Φτιάχνουμε τα τετράγωνα APDK,TBLN

κι έστω ότι οι κάθετες στην

στα

τέμνουν τις KD,NL

στα

Λόγω της προφανούς ισότητας των κόκκινων γωνιών ,είναι $\triangle APB= \triangle MKA$ και

λόγω ισότητας των μπλε γωνιών είναι $\triangle ATB= \triangle HLB$

Άρα AM =AB =BH

κι επειδή

,το

είναι τετράγωνο

AS.AP=AS.AK=2(KAS)=2(MSA)

και

Με πρόσθεση $AS.AP + BT.BS =2[(MSA )+(HBS)]=2\dfrac{(AMHB)}{2}=100$

: Αδυναμία σημείου ως προς ημικύκλιο.png (61.77 KiB) Προβλήθηκε 234 φορές

Αδυναμία σημείου ως προς ημικύκλιο

Αδυναμία σημείου ως προς ημικύκλιο

Re: Αδυναμία σημείου ως προς ημικύκλιο

Re: Αδυναμία σημείου ως προς ημικύκλιο

Re: Αδυναμία σημείου ως προς ημικύκλιο

Re: Αδυναμία σημείου ως προς ημικύκλιο

Μέλη σε σύνδεση