Αντιστρόφως ανάλογα

KARKAR · #1

: Αντιστρόφως ανάλογα.png (27.91 KiB) Προβλήθηκε 277 φορές

Με κέντρα τα άκρα του τμήματος OK=6

γράφουμε τους κύκλους (O,4)

και

και έστω

το ένα σημείο τομής τους .

Ευθεία διερχόμενη από το

, τέμνει τους δύο κύκλους στα σημεία S , P

. Για ποια θέση της ευθείας , είναι : $\dfrac{SA}{ AP}=\dfrac{3}{4}$ ;

#2

KARKAR έγραψε: Δευ Δεκ 15, 2025 9:13 am Αντιστρόφως ανάλογα.pngΜε κέντρα τα άκρα του τμήματος γράφουμε τους κύκλους και και έστω το ένα σημείο τομής τους .

Ευθεία διερχόμενη από το , τέμνει τους δύο κύκλους στα σημεία . Για ποια θέση της ευθείας , είναι : $\dfrac{SA}{ AP}=\dfrac{3}{4}$ ;

Θεωρώ σημείο

εσωτερικό του τμήματος

ώστε $\dfrac{OT}{TK}=\dfrac{3}{4}.$ Η κάθετη της

στο

είναι η ζητούμενη ευθεία.

Η απόδειξη είναι απλή, αν φέρουμε τα αποστήματα των χορδών SA, AP

και πάρουμε του λόγους στο σχηματιζόμενο τραπέζιο. Η άσκηση γενικεύεται για οποιουσδήποτε τεμνόμενους κύκλους και λόγο χορδών $\lambda.$

KARKAR · #3

: Αντιστρόφως ανάλογα.png (30.83 KiB) Προβλήθηκε 265 φορές

Το σχήμα της άσκησης . Μπορούμε με τα δοθέντα μήκη να υπολογίσουμε το τμήμα

;

#4

KARKAR έγραψε: Δευ Δεκ 15, 2025 11:28 am Αντιστρόφως ανάλογα.pngΤο σχήμα της άσκησης . Μπορούμε με τα δοθέντα μήκη να υπολογίσουμε το τμήμα ;

Θέτω

οπότε $AN=\dfrac{4x}{3}$ και $SP=2MN=\dfrac{14x}{3}.$ Κατασκευάζω το παραλληλόγραμμο MOKL.

: Αντιστρόφως ανάλογα.png (25.19 KiB) Προβλήθηκε 232 φορές

Είναι $ML=6, MN=\dfrac{7x}{3}$ και $\displaystyle NL = OM - KN = \sqrt {16 - {x^2}} + \frac{{\sqrt {81 - 16{x^2}} }}{3},$

όπου με Πυθαγόρειο στο MLN,

$\displaystyle 36 = \frac{{49{x^2}}}{9} + \frac{{{{\left( {3\sqrt {16 - {x^2}} + \sqrt {81 - 16{x^2}} } \right)}^2}}}{9}.$

Λύνοντας την εξίσωση βρίσκω $\displaystyle x = \frac{3}{2}\sqrt {\frac{{91}}{{41}}}.$ Άρα, $\boxed{SP = 7\sqrt {\frac{{91}}{{41}}}}$

Αντιστρόφως ανάλογα

Αντιστρόφως ανάλογα

Re: Αντιστρόφως ανάλογα

Re: Αντιστρόφως ανάλογα

Re: Αντιστρόφως ανάλογα

Μέλη σε σύνδεση