Πάνω στη διχοτόμο

#1

: Πάνω στη διχοτόμο.png (14.94 KiB) Προβλήθηκε 281 φορές

Στις προεκτάσεις των πλευρών AB, AC

τριγώνου

θεωρώ τα σημεία D, E,

ώστε

και φέρω

τα εφαπτόμενα τμήματα DS, ET

στον περιγεγραμμένο κύκλο του τριγώνου

τα σημεία

προς το ίδιο μέρος

της BC).

Να δείξετε ότι οι BT, CS

τέμνονται πάνω στη διχοτόμο της γωνίας $\widehat A.$

Dimessi · #2

george visvikis έγραψε: ↑
Κυρ Ιαν 18, 2026 12:57 pm
Πάνω στη διχοτόμο.png
Στις προεκτάσεις των πλευρών τριγώνου θεωρώ τα σημεία ώστε και φέρω

τα εφαπτόμενα τμήματα στον περιγεγραμμένο κύκλο του τριγώνου τα σημεία προς το ίδιο μέρος

της Να δείξετε ότι οι τέμνονται πάνω στη διχοτόμο της γωνίας $\widehat A.$

$\displaystyle \triangle ATE \sim \triangle ETC \Rightarrow \frac{AT}{TC}=\frac{TE}{EC}=\frac{\sqrt{EC\cdot EA}}{EC}=\sqrt {\frac{EA}{EC}}$

$\displaystyle \triangle ASD \sim \triangle DSB\Rightarrow \frac{AS}{SB}=\frac{SD}{DB}=\frac{\sqrt{DB\cdot DA}}{DB}=\sqrt{\frac{DA}{DB}}\overset{\left ( DE \parallel BC \right )}=\sqrt{\frac{EA}{EC}}=\frac{AT}{TC}\left ( \ast \right )$

Προεκτείνουμε τη διχοτόμο για να τμήσει τον κύκλο ξανά στο

Τότε

κι αφού $\displaystyle \frac{AS}{SB}\cdot \frac{BM}{MC}\cdot \frac{TC}{TA}=1$

οι ευθείες BT,CS,AM

συντρέχουν.

: Πάνω στη διχοτόμο..png (63.02 KiB) Προβλήθηκε 223 φορές

#3

Σ' ευχαριστώ Δημήτρη για τη λύση!
Τελικά μόλις είδα ότι είχα προτείνει ξανά την ίδια άσκηση εδώ. Κοιτάξτε και τις άλλες παραπομπές.

Πάνω στη διχοτόμο

Πάνω στη διχοτόμο

Re: Πάνω στη διχοτόμο

Re: Πάνω στη διχοτόμο

Μέλη σε σύνδεση