Αναπάντεχα δύσκολο μέγιστο

KARKAR · #1

: Αναπάντεχα δύσκολο.png (10.55 KiB) Προβλήθηκε 145 φορές

Στο ορθογώνιο τρίγωνο ABC

είναι :

. Σημεία

κινούνται στις πλευρές

AC , BC

αντίστοιχα , ώστε : $TS \perp SB$ . Υπολογίστε το μέγιστο εμβαδόν του τριγώνου CST

.

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Δευ Φεβ 09, 2026 7:28 pm
Αναπάντεχα δύσκολο.pngΣτο ορθογώνιο τρίγωνο είναι : . Σημεία κινούνται στις πλευρές

αντίστοιχα , ώστε : $TS \perp SB$ . Υπολογίστε το μέγιστο εμβαδόν του τριγώνου .

Έστω

το ύψος του τριγώνου CST.

Θέτω

οπότε $\boxed{(CST)=\frac{(6-x)y}{2}}$ (1)

Οι πράσινες γωνίες είναι ίσες ως οξείες με πλευρές κάθετες, άρα $\displaystyle \frac{y}{{PS}} = \frac{x}{8} \Leftrightarrow PS = \frac{{8y}}{x}$

: Αναπάντεχα δύσκολο.png (10.97 KiB) Προβλήθηκε 101 φορές

$\displaystyle PT||AB \Leftrightarrow \frac{y}{8} = \frac{{CP}}{6} = \frac{{CS - PS}}{6} = \frac{{6 - x - \dfrac{{8y}}{x}}}{6} \Leftrightarrow y = \frac{{4x(6 - x)}}{{3x + 32}}$

Αντικαθιστώ στην (1)

και έχω $\displaystyle (CST) = \frac{{2x{{(6 - x)}^2}}}{{3x + 32}},$ όπου με τη βοήθεια παραγώγων

βρίσκω ότι έχει μέγιστη τιμή $\boxed{{(CST)_{\max }} = 472 - 192\sqrt 6}$ όταν $\boxed{x=4(\sqrt 6-2)}$

Αναπάντεχα δύσκολο μέγιστο

Αναπάντεχα δύσκολο μέγιστο

Re: Αναπάντεχα δύσκολο μέγιστο

Μέλη σε σύνδεση