Η άσκηση της εβδομάδας

KARKAR · #1

: Η άσκηση της εβδομάδας.png (13.7 KiB) Προβλήθηκε 313 φορές

Τα τμήματα OA=4 , OB=2

και :

, σχηματίζουν ανά δύο ( κυρτές ) γωνίες 120^0

.

Αν

το μέσο της

υπολογίστε το τμήμα

.

#2

KARKAR έγραψε: Κυρ Απρ 19, 2026 9:02 am Η άσκηση της εβδομάδας.pngΤα τμήματα και : , σχηματίζουν ανά δύο ( κυρτές ) γωνίες .

Αν το μέσο της υπολογίστε το τμήμα .

Με νόμο συνημιτόνου στα τρίγωνα AOC, AOB, BOC

βρίσκω

Με τον τύπο της διαμέσου τώρα, $\displaystyle A{M^2} = \frac{{2 \cdot 28 + 2 \cdot 112 - 84}}{4} = 49 \Leftrightarrow$ $\boxed{AM=7}$

ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ: Το τρίγωνο ABC

είναι της μορφής $30^\circ-60^\circ-90^\circ$ και το

είναι το σημείο $\rm Steiner.$

Θα ήθελα να μάθω γιατί φέρει τον τίτλο η άσκηση της εβδομάδας.

KARKAR · #3

george visvikis έγραψε: Κυρ Απρ 19, 2026 10:07 am Θα ήθελα να μάθω γιατί φέρει τον τίτλο η άσκηση της εβδομάδας.

Μα λόγω του αποτελέσματος

Ας σημειωθεί ότι : $AM=\dfrac{OA+OB+OC}{2}$ .

Ιστοσελίδα · #4

KARKAR έγραψε: Κυρ Απρ 19, 2026 9:02 am Τα τμήματα και : , σχηματίζουν ανά δύο ( κυρτές ) γωνίες .

Αν το μέσο της υπολογίστε το τμήμα .

: shape.png (26.22 KiB) Προβλήθηκε 296 φορές

#5

KARKAR έγραψε: Κυρ Απρ 19, 2026 10:26 am
george visvikis έγραψε: Κυρ Απρ 19, 2026 10:07 am Θα ήθελα να μάθω γιατί φέρει τον τίτλο η άσκηση της εβδομάδας.
Μα λόγω του αποτελέσματος Ας σημειωθεί ότι : $AM=\dfrac{OA+OB+OC}{2}$ .

Μία λύση που ταιριάζει με αυτή την εξήγηση.

Το τρίγωνο ABC

είναι της μορφής $30^\circ-60^\circ-90^\circ$ και το

είναι το σημείο $\rm Steiner.$ Αν κατασκευάσω

λοιπόν το ισόπλευρο BCD,

τότε τα σημεία A, O, D

θα είναι συνευθειακά και OD=OA+OB+OC.

: Η άσκηση της εβδομάδας.png (15.07 KiB) Προβλήθηκε 273 φορές

Έστω

τα μέσα των AC, DC.

Τα ορθογώνια τρίγωνα BAM, CNL

είναι ίσα επειδή $AB=\dfrac{AC}{2}=NC$

και $BM=\dfrac{BC}{2}=\dfrac{CD}{2}=CL.$ Επομένως, $AM=NL=\dfrac{AD}{2}=\dfrac{OA+OB+OC}{2}=7.$

#6

KARKAR έγραψε: Κυρ Απρ 19, 2026 9:02 am Η άσκηση της εβδομάδας.pngΤα τμήματα και : , σχηματίζουν ανά δύο ( κυρτές ) γωνίες .

Αν το μέσο της υπολογίστε το τμήμα .

: εβδομ.png (23.15 KiB) Προβλήθηκε 258 φορές

.
Mε Αναλυτική Γεωμετρία η άσκηση είναι απλούστατη ρουτίνα: Επειδή οι δύο γωνίες $\theta$ είναι από 30^o

και $\sin 30 = \dfrac {1}{2}, \, \cos 30 = \dfrac {\sqrt 3}{2}$ έπονται αμέσως οι συντεταγμένες

$A(0,4), \, B(-\sqrt 3, -1), \, C(4\sqrt 3, -4)$ και άρα το μέσον

είναι $M \left (\dfrac {3\sqrt 3}{2},\, - \dfrac {5}{2}\right )$ .

Συνεπώς $AM=\sqrt { \left (\dfrac {3\sqrt 3}{2}\right ) ^2 + \left (4+ \dfrac {5}{2}\right )^2 } = \sqrt { \dfrac {196}{4}} = 7$

Μιχάλης Τσουρακάκης · #7

KARKAR έγραψε: Κυρ Απρ 19, 2026 9:02 am Η άσκηση της εβδομάδας.pngΤα τμήματα και : , σχηματίζουν ανά δύο ( κυρτές ) γωνίες .

Αν το μέσο της υπολογίστε το τμήμα .

Στο ακόλουθο σχήμα,το $\triangle ADN$ προφανώς είναι ισόπλευρο με ύψος $6= \dfrac{a \sqrt{3} }{2} \Rightarrow a=4 \sqrt{3}$

Ακόμη, $\angle ANM=30^0+60^0=90^0$ και MN=1

,άρα με Π.Θ στο $\triangle AMN\Rightarrow AM=7$

: Η άσκηση της εβδομάδας.png (28.62 KiB) Προβλήθηκε 256 φορές

STOPJOHN · #8

KARKAR έγραψε: Κυρ Απρ 19, 2026 9:02 am Η άσκηση της εβδομάδας.pngΤα τμήματα και : , σχηματίζουν ανά δύο ( κυρτές ) γωνίες .

Αν το μέσο της υπολογίστε το τμήμα .

Έστω $TC\perp AO,\hat{OCT}=30^{0},OT=4,TC=4\sqrt{3},AOB,AB=2\sqrt{3},ABT,12+BT^{2}=2.4+32\Leftrightarrow BT=2\sqrt{7},BC^{2}=4+64-16\Leftrightarrow BC=2\sqrt{13},BTC,TM=5, 4+64=2OM^{2}+\dfrac{BC^{2}}{2}\Leftrightarrow OM=\sqrt{21}, AMT,x^{2} +25=2OM^{2}+32\Leftrightarrow x=7$

KARKAR · #9

: Εβδομάδα.png (19.79 KiB) Προβλήθηκε 217 φορές

Από τα παραπάνω έγινε φανερό ότι το τρίγωνο BAC

, είναι τύπου : 90^0 - 60^0-30^0

.

Αν

είναι η τομή των AM , OC

, υπολογίστε το τμήμα

.

#10

KARKAR έγραψε: Κυρ Απρ 19, 2026 6:56 pm Εβδομάδα.pngΑπό τα παραπάνω έγινε φανερό ότι το τρίγωνο , είναι τύπου : .

Αν είναι η τομή των , υπολογίστε το τμήμα .

.
Μπορούμε και καλύτερα, με την έννοια ότι μπορούμε να βρούμε τις συντεταγμένες του ίδιου του

. Πράγματι, με βάση το σχήμα στο ποστ #6 η εξίσωση της

είναι $y=-\dfrac {13}{3\sqrt 3}x+4$ και της

είναι $y=-\dfrac {\sqrt 3}{3}x$ . Άρα το κοινό τους σημείο

είναι (άμεσο)

$\boxed {S \left ( \dfrac {6\sqrt 3}{5}, \, -\dfrac {6}{5}\right ) }$

Αν τώρα θέλουμε το μήκος

, δεδομένου ότι το $C(4\sqrt 3, -4)$ είναι γνωστό, θα βρούμε $SC= \dfrac {28}{5}$ .

'Ολα αυτά είναι απλοί υπολογιαμοί ρουτίνας, που υπάρχουν σε όλα τα βιβλία Αναλυτικής Γεωμετρίας. Μόνο τα νούμερα αλλάζουν.

Η άσκηση της εβδομάδας

Η άσκηση της εβδομάδας

Re: Η άσκηση της εβδομάδας

Re: Η άσκηση της εβδομάδας

Re: Η άσκηση της εβδομάδας

Re: Η άσκηση της εβδομάδας

Re: Η άσκηση της εβδομάδας

Re: Η άσκηση της εβδομάδας

Re: Η άσκηση της εβδομάδας

Re: Η άσκηση της εβδομάδας

Re: Η άσκηση της εβδομάδας

Μέλη σε σύνδεση