Τετράγωνο εφαπτομένης

KARKAR · #1

: Τετράγωνο εφαπτομένης.png (13.43 KiB) Προβλήθηκε 193 φορές

Οι διχοτόμοι AD , BE

, του ορθογωνίου τριγώνου ABC

, τέμνονται

στο σημείο

. Αν :

, υπολογίστε την : $\tan^2\theta$ .

#2

KARKAR έγραψε: Τρί Απρ 21, 2026 5:38 pm Τετράγωνο εφαπτομένης.pngΟι διχοτόμοι , του ορθογωνίου τριγώνου , τέμνονται

στο σημείο . Αν : , υπολογίστε την : $\tan^2\theta$ .

Η ισότητα των εμβαδών μάς εξασφαλίζει ότι (ADC)=(AEB),

απ' όπου

: Τετράγωνο εφαπτομένης.png (14.89 KiB) Προβλήθηκε 149 φορές

$\displaystyle \frac{1}{2}b\frac{{ab}}{{b + c}}\sin \theta = \frac{1}{2}c\frac{{bc}}{{a + c}} \Leftrightarrow \frac{{ab}}{{b + c}} \cdot \frac{c}{a} = \frac{{{c^2}}}{{a + c}} \Leftrightarrow {c^2} = ab \Leftrightarrow {a^2} - ab - {b^2} = 0$

Άρα, $\displaystyle a = b\Phi \Leftrightarrow {c^2} = {b^2}({\Phi ^2} - 1) \Leftrightarrow \frac{{{c^2}}}{{{b^2}}} = \Phi \Leftrightarrow$ $\boxed{ {\tan ^2}\theta = \Phi }$

Nikitas K. · #3

KARKAR έγραψε: Τρί Απρ 21, 2026 5:38 pm Τετράγωνο εφαπτομένης.pngΟι διχοτόμοι , του ορθογωνίου τριγώνου , τέμνονται

στο σημείο . Αν : , υπολογίστε την : $\tan^2\theta$ .

: Τετράγωνο εφαπτομένης.png (30.58 KiB) Προβλήθηκε 104 φορές

Με βάση το σχήμα η υπόθεση γράφεται:

$(ASB) = (CDS) + (SEC)\Leftrightarrow AB = DC + CE\Leftrightarrow c = \dfrac{ab}{b+c} + \dfrac{ab}{c+a}$

Αντικαθιστώντας όπου

το $\sqrt{b^2+c^2}$ · με κατάλληλους χειρισμούς προκύπτει $c = b\sqrt{\varphi}$ από όπου έπεται το ζητούμενο.

KARKAR · #4

Nikitas K. έγραψε: Τετ Απρ 22, 2026 8:19 pm
... με κατάλληλους χειρισμούς προκύπτει $c = b\sqrt{\varphi}$ από όπου έπεται το ζητούμενο.

Η σχέση γίνεται : $c=\dfrac{ab(a+b+2c)}{(a+c)(b+c)}$ , δηλαδή : c^2(a+b+c)=ab(a+b+c)

, η οποία καταλήγει

στην : c^2=ab

. Αλλά τότε : c^4=(b^2+c^2)b^2

, ή : $\dfrac{c^4}{b^4}-\dfrac{c^2}{b^2}-1=0$ , άρα : $\dfrac{c^2}{b^2}=\phi$ .

Τετράγωνο εφαπτομένης

Τετράγωνο εφαπτομένης

Re: Τετράγωνο εφαπτομένης

Re: Τετράγωνο εφαπτομένης

Re: Τετράγωνο εφαπτομένης

Μέλη σε σύνδεση