Ελάχιστο άθροισμα εμβαδών

#1

: Ελάχιστο άθροισμα..png (14.75 KiB) Προβλήθηκε 107 φορές

Δίνεται τρίγωνο ABC

με

Θεωρώ ημιευθεία

παράλληλη και ομόρροπη της

και επί αυτής τυχόν

σημείο

Αν

είναι το σημείο τομής των BS, AC

και

η απόσταση των δύο παραλλήλων, να βρείτε το ελάχιστο

του αθροίσματος (MAS)+(MBC),

καθώς και τη θέση του

για την οποία επιτυγχάνεται αυτό.

#2

Καλημέρα σε όλους. Μία προσπάθεια, δίχως παραγώγους, με τις παλιές αλγεβρικές μεθόδους που αρέσουν στον Γιώργο (και όχι μόνον στον Γιώργο, βεβαίως).

: Ελάχιστο άθροισμα..png (14.75 KiB) Προβλήθηκε 95 φορές

Από την ομοιότητα των MAS, BMC

είναι $\displaystyle \frac{{AS}}{a} = \frac{{h - x}}{x}$ , όπου

ύψος από

στη

.

$\displaystyle \left( {MAS} \right) + \left( {BMC} \right) = \frac{{AS \cdot \left( {h - x} \right)}}{2} + \frac{{ax}}{2} = \frac{{a{{\left( {h - x} \right)}^2} + a{x^2}}}{{2x}} =$

$\displaystyle = \frac{{2a{x^2} - 2ahx + a{h^2}}}{{2x}} = ax + \frac{{a{h^2}}}{2} \cdot \frac{1}{x} - ah$

Επειδή το γινόμενο $\displaystyle \left( {ax} \right) \cdot \left( {\frac{{a{h^2}}}{2} \cdot \frac{1}{x}} \right) = \frac{{{a^2}{h^2}}}{2}$ είναι σταθερό,
το άθροισμα $\displaystyle \left( {ax} \right) + \left( {\frac{{a{h^2}}}{2} \cdot \frac{1}{x}} \right)$ γίνεται ελάχιστο

όταν $\displaystyle \left( {ax} \right) = \left( {\frac{{a{h^2}}}{2} \cdot \frac{1}{x}} \right) \Leftrightarrow {x^2} = \frac{{{h^2}}}{2} \Leftrightarrow x = \frac{{h\sqrt 2 }}{2}$ αφού $\displaystyle \left( {x > 0} \right)$

Οπότε $\displaystyle AS = \frac{{2 - \sqrt 2 }}{{\sqrt 2 }} = \left( {\sqrt 2 - 1} \right)a$ (κατασκευάσιμο)
και $\displaystyle \left( {MAS} \right) + {\left( {BMC} \right)_{\min }} = \left( {\sqrt 2 - 1} \right)ah$

#3

Και η άσκηση και ή λύση πολύ ωραίες

Ελάχιστο άθροισμα εμβαδών

Ελάχιστο άθροισμα εμβαδών

Re: Ελάχιστο άθροισμα εμβαδών

Re: Ελάχιστο άθροισμα εμβαδών

Μέλη σε σύνδεση