Κάνε την διαφορά

KARKAR · #1

: Κάνε την διαφορά.png (22.87 KiB) Προβλήθηκε 65 φορές

Στο εξωτερικό των ομόκεντρων κύκλων (O , 2)

και

, βρίσκεται σημείο

, τέτοιο ώστε : OS=5

.

Φέρουμε τα εφαπτόμενα τμήματα SP , SQ

προς τον μεγαλύτερο κύκλο , καθώς και το εφαπτόμενο τμήμα

προς τον μικρότερο . Υπολογίστε την θετική διαφορά : QT-TP

.

#2

KARKAR έγραψε: Δευ Ιουν 01, 2026 8:44 am Κάνε την διαφορά.pngΣτο εξωτερικό των ομόκεντρων κύκλων και , βρίσκεται σημείο , τέτοιο ώστε : .

Φέρουμε τα εφαπτόμενα τμήματα προς τον μεγαλύτερο κύκλο , καθώς και το εφαπτόμενο τμήμα

προς τον μικρότερο . Υπολογίστε την θετική διαφορά : .

: διαφορά.png (27.97 KiB) Προβλήθηκε 59 φορές

.
Μπορούμε και καλύτερα: Να βρούμε τα QT, TP

χωριστά.

Φέρνουμε τις κάθετες PU, TR

στην

. Από το ορθογώνιο τρίγωνο OPS

είναι $9=OP^2= OU\cdot OS= 5OU$ , οπότε $OU= \dfrac {9}{5}$ και άρα από Πυθαγόρειο $PU= \dfrac {12}{5}$ . Όμοια $OR= \dfrac {4}{5}, \, TR= \dfrac {2\sqrt {21} }{5}$ . Άρα έχουμε συντεταγμένες

$P \left ( \dfrac {9}{5} , \, \dfrac {12}{5} \right ) ,\, Q \left ( \dfrac {9}{5} , \, - \dfrac {12}{5} \right ), \, T \left ( \dfrac {4}{5} , \, \dfrac {2\sqrt {21} }{5} \right )$

Τώρα ο υπολογισμός των QT, TP

είναι άμεσος. Συγκεκριμένα

$PT =\dfrac {\sqrt {253-48\sqrt {21}}}{5}\approx 1,15$ και $QT =\dfrac {\sqrt {253+48\sqrt {21}}}{5}\approx 4,35$ , άρα $QT-TP \approx 3,2$ (αποδεικνύεται ότι η εν λόγω διαφορά είναι ακριβώς 3,2

. Βλέπε το μήνυμα του Γιώργου, που ακολουθεί.)

.

#3

Απλοποιώ τις παραπάνω λύσεις του Μιχάλη.

$\displaystyle QT = \frac{{8 + 3\sqrt {21} }}{5},PT = \frac{{ - 8 + 3\sqrt {21} }}{5} \Rightarrow$ $\boxed{QT - PT = \frac{{16}}{5}}$

#4

KARKAR έγραψε: Δευ Ιουν 01, 2026 8:44 am Κάνε την διαφορά.pngΣτο εξωτερικό των ομόκεντρων κύκλων και , βρίσκεται σημείο , τέτοιο ώστε : .

Φέρουμε τα εφαπτόμενα τμήματα προς τον μεγαλύτερο κύκλο , καθώς και το εφαπτόμενο τμήμα

προς τον μικρότερο . Υπολογίστε την θετική διαφορά : .

Θεωρώ σημείο

του τμήματος

ώστε

Επειδή $O\widehat PS=O\widehat TS=O\widehat QS=90^\circ,$ τα σημεία

O, T, P, S, Q

είναι ομοκυκλικά, άρα $\displaystyle QS = SP \Leftrightarrow Q\widehat TS = S\widehat TP,$ δηλαδή η

είναι μεσοκάθετη του PN,

οπότε $SN=SP=SQ=\sqrt{5^2-3^2}=4.$

: Κάνει τη διαφορά.Κ.png (26.21 KiB) Προβλήθηκε 36 φορές

Οι μπλε γωνίες είναι ίσες με $\omega$ και $N\widehat SQ=\theta=180^\circ-2\omega.$

Αλλά, $\displaystyle \cos \omega = \frac{{OT}}{{OS}} = \frac{3}{5} \Leftrightarrow \cos 2\omega = - \frac{{17}}{{25}} = - \cos \theta$ και με νόμο συνημιτόνου στο NQS:

$\displaystyle N{Q^2} = 32 - 32 \cdot \frac{{17}}{{25}} = {\left( {\frac{{16}}{5}} \right)^2} \Leftrightarrow$ $\boxed{QT - TP = NQ = \frac{{16}}{5}}$

Κάνε την διαφορά

Κάνε την διαφορά

Re: Κάνε την διαφορά

Re: Κάνε την διαφορά

Re: Κάνε την διαφορά

Μέλη σε σύνδεση