Από σταθερό σημείο

KARKAR · #1

: Από σταθερό σημείο.png (15 KiB) Προβλήθηκε 126 φορές

Μεταβλητός κύκλος διερχόμενος από τα σημεία A(a,0)

και

A'(-a,0)

, έχει νότιο πόλο το

.

Το τμήμα

τέμνει τον κύκλο στο σημείο

. Δείξτε ότι η κάθετη του

στο

, διέρχεται

από σταθερό σημείο και βρείτε τις συντεταγμένες του στην περίπτωση που :

a=2 , p=8

.

#2

KARKAR έγραψε: Τετ Ιούλ 15, 2026 9:33 am Από σταθερό σημείο.pngΜεταβλητός κύκλος διερχόμενος από τα σημεία και $A'(-a,0)$ , έχει νότιο πόλο το .

Το τμήμα τέμνει τον κύκλο στο σημείο . Δείξτε ότι η κάθετη του στο , διέρχεται

από σταθερό σημείο και βρείτε τις συντεταγμένες του στην περίπτωση που : $a=2 , p=8$ .

: από σταθ.png (19.36 KiB) Προβλήθηκε 107 φορές

.
Θα δείξουμε ότι το σταθερό σημείο είναι το

, που σημαίνει ότι αρκεί να δείξουμε ότι το μήκος

είναι σταθερό.

Πράγματι από την δύναμη του σημείου

ως προς τον α) το εγγράψιμο OKTS

(δύο γωνίες ορθές) και β) τον κύκλο, έχουμε

PK\cdot PO=PT\cdot PS=PA\cdot PA'

. Άρα

PK= \dfrac {PA\cdot PA'}{PO} = \dfrac {(p-a)(p+a)}{p} =

σταθερό.

Για

p=8, a=2

είναι

PK= \dfrac {(8-2)(8+2)}{8} = 7 \dfrac {1}{2}

, oπότε

OK= \dfrac {1}{2},

και άρα

\boxed {K \left ( \dfrac {1}{2}, \, 0 \right )}

.

#3

KARKAR έγραψε: Τετ Ιούλ 15, 2026 9:33 am Από σταθερό σημείο.pngΜεταβλητός κύκλος διερχόμενος από τα σημεία και $A'(-a,0)$ , έχει νότιο πόλο το .

Το τμήμα τέμνει τον κύκλο στο σημείο . Δείξτε ότι η κάθετη του στο , διέρχεται

από σταθερό σημείο και βρείτε τις συντεταγμένες του στην περίπτωση που : $a=2 , p=8$ .

: Από σταθ 2.png (22.51 KiB) Προβλήθηκε 86 φορές

.
Αλλιώς: Η κάθετος στο

διέρχεται από τον βόρειο πόλο

και άρα τα τρίγωνα

OBK, \,OSP

είναι όμοια (άμεσο). Συνεπώς

\dfrac {OK}{OB}= \dfrac {OS}{OP}

(*). Επίσης, από την δύναμη του σημείου

έχουμε

a^2= OA\cdot OA'= OB\cdot OS= ^{(*)} OK\cdot OP= pOK

, που σημαίνει

OK= \dfrac {a^2}{p}=

σταθερό. Άρα το σημείο

είναι σταθερό αφού το

είναι σταθερό, όπως θέλαμε.

Στο αριθμητικό παράδειγμα

OK= \dfrac {a^2}{p}= \dfrac {2^2}{8}= \dfrac {1}{2}

, οπότε

K\left ( \dfrac {1}{2}, \,0\right )

#4

KARKAR έγραψε: Τετ Ιούλ 15, 2026 9:33 am Από σταθερό σημείο.pngΜεταβλητός κύκλος διερχόμενος από τα σημεία και $A'(-a,0)$ , έχει νότιο πόλο το .

Το τμήμα τέμνει τον κύκλο στο σημείο . Δείξτε ότι η κάθετη του στο , διέρχεται

από σταθερό σημείο και βρείτε τις συντεταγμένες του στην περίπτωση που : $a=2 , p=8$ .

Τα σημεία

A'\,\,,\,\,O\,\,,\,\,A\,\,,\,\,P

είναι σταθερά και έστω ,

OA = OA' = a\,\,,\,\,OP = p\,\,,\,\,OF = x\,\,

.

Έχω επίσης δύο μεταβλητούς κύκλους : Τον $\Omega$ κέντρου

διερχόμενο από τα σημεία

A\,\,,\,\,A'

και τον

μεταβλητής ( κατά μήκος ) διαμέτρου

.

Επειδή για το σημείο

, τομή των

OP = p\,\,

( σταθερό) και της μεταβλητής

ισχύουν :

: Απο σταθερό σημείο.png (29.12 KiB) Προβλήθηκε 56 φορές

FO \cdot FP = FN \cdot FT

( δύναμη του

στον κύκλο

) και

FN \cdot FT = FA \cdot FA

( δύναμη του

ως προς τον κύκλο $\Omega$ )

Θα προκύψει ,

FO \cdot FP = FA \cdot FA' \Rightarrow x\left( {p - x} \right) = \left( {a + x} \right)\left( {a - x} \right)

που προκύπτει ,

\boxed{x = \dfrac{{{a^2}}}{p}}

σταθερό .

Παρατήρηση :

Το πιο πάνω αποτέλεσμα προκύπτει άμεσα από το Θ. .

$\boxed{\frac{{OA' \cdot FA}}{{OF}} = PA \Rightarrow \frac{{a\left( {a - x} \right)}}{x} = p - a}$ κ. λ. π.

Από σταθερό σημείο

Από σταθερό σημείο

Re: Από σταθερό σημείο

Re: Από σταθερό σημείο

Re: Από σταθερό σημείο

Μέλη σε σύνδεση