Δύσκολη ισεμβαδικότητα

KARKAR · #1

: Δύσκολη ισεμβαδικότητα.png (31.38 KiB) Προβλήθηκε 127 φορές

Η απόσταση του σταθερού σημείου

από το κέντρο του κύκλου (O ,3)

, είναι

. Σε σημείο

, το οποίο

κινείται στον κύκλο φέρουμε εφαπτομένη , επί της οποίας θεωρούμε σημείο

, τέτοιο ώστε : AP=AS

.

Βρείτε την θέση του σημείου

, για την οποία τα τρίγωνα

OAP , APS

, καθίστανται ισεμβαδικά .

STOPJOHN · #2

KARKAR έγραψε: Πέμ Ιούλ 23, 2026 5:35 am Δύσκολη ισεμβαδικότητα.pngΗ απόσταση του σταθερού σημείου από το κέντρο του κύκλου , είναι . Σε σημείο , το οποίο

κινείται στον κύκλο φέρουμε εφαπτομένη , επί της οποίας θεωρούμε σημείο , τέτοιο ώστε : .

Βρείτε την θέση του σημείου , για την οποία τα τρίγωνα $OAP , APS$ , καθίστανται ισεμβαδικά .

AM\perp PS,AS=AP=x,PM=MS=y,\hat{APS}=\omega ,\hat{TAP}=\phi , \hat{AOT}=2\phi

Στο τρίγωνο OAS

με νόμο συνημιτόνων

55=x^{2}+6xsin2\omega ,sin2\omega =\dfrac{2y}{x^{2}}\sqrt{x^{2}-y^{2}}\Rightarrow 55=x^{2}+\dfrac{12y}{x}\sqrt{x^{2}-y^{2}},(**) (*),(**) \Rightarrow x=\sqrt{37},y^{2}=\dfrac{37+2\sqrt{7.37}}{2}

Ισχύει

PS.AM=OA.AP\Rightarrow \sqrt{x^{2}-y^{2}}=\dfrac{3x}{2y},(*)

Οπότε το σημείο

προσδιορίζεται απο την τομή των κύκλων

(O,3),(S,\sqrt{37})

#3

KARKAR έγραψε: Πέμ Ιούλ 23, 2026 5:35 am Δύσκολη ισεμβαδικότητα.pngΗ απόσταση του σταθερού σημείου από το κέντρο του κύκλου , είναι . Σε σημείο , το οποίο

κινείται στον κύκλο φέρουμε εφαπτομένη , επί της οποίας θεωρούμε σημείο , τέτοιο ώστε : .

Βρείτε την θέση του σημείου , για την οποία τα τρίγωνα $OAP , APS$ , καθίστανται ισεμβαδικά .

Ας πούμε ότι βρήκαμε το

. Αν

το μέσο του σταθερού,

OS = 8

θα είναι :

\left( {AOM} \right) = \left( {AMS} \right)

και

\left( {POM} \right) = \left( {PMS} \right)

.

: Δύσκολη ισεμβαδικότητα_κατασκευή.png (25.9 KiB) Προβλήθηκε 93 φορές

Ως εκ τούτου αρκεί από το σταθερό

μέσο του

να φέρω το εφαπτόμενο τμήμα

στον κύκλο .

KARKAR · #4

: Δύσκολη ισεμβαδικότητα.png (33.28 KiB) Προβλήθηκε 78 φορές

Ο Ντολόρειος δρόμος είναι φυσικά ο ενδεδειγμένος.

Αν πάντως ζητούμενο ήταν και ο υπολογισμός του εμβαδού του κάθε τριγώνου ,

θα μπορούσαμε και ως εξής :

\dfrac{1}{2}x\cdot3=\dfrac{1}{2}x\cdot x\sin\theta \Leftrightarrow \sin\theta=\dfrac{3}{x}

και :

x^2+9-6x\cos(90+\theta)=64\Leftrightarrow x^2+18=55\Leftrightarrow x=\sqrt{37}

,

οπότε :

E=\dfrac{3\sqrt{37}}{2}

. ( Θυμίζω :

\cos(90+\theta)=-\sin\theta

)

#5

KARKAR έγραψε: Πέμ Ιούλ 23, 2026 5:35 am Δύσκολη ισεμβαδικότητα.pngΗ απόσταση του σταθερού σημείου από το κέντρο του κύκλου , είναι . Σε σημείο , το οποίο

κινείται στον κύκλο φέρουμε εφαπτομένη , επί της οποίας θεωρούμε σημείο , τέτοιο ώστε : .

Βρείτε την θέση του σημείου , για την οποία τα τρίγωνα $OAP , APS$ , καθίστανται ισεμβαδικά .

Και οι υπολογισμοί ( από την ημετέρα κατασκευή)
.

: Δύσκολη ισεμβαδικότητα_κατασκευή_Υπολογισμοί.png (17.65 KiB) Προβλήθηκε 55 φορές

.
Από το πρώτο Θ. διαμέσων στο $\vartriangle AOS$ έχω :

A{O^2} + A{S^2} = 2A{M^2} + \dfrac{{O{S^2}}}{2} \Rightarrow 9 + {x^2} = 2 \cdot 7 + 32 \Rightarrow x = AS = AP = \sqrt {37}

και άρα

\boxed{\left( {AOP} \right) = \frac{1}{2}AO \cdot AP = \frac{3}{2}\sqrt {37} }

.

Δύσκολη ισεμβαδικότητα

Δύσκολη ισεμβαδικότητα

Re: Δύσκολη ισεμβαδικότητα

Re: Δύσκολη ισεμβαδικότητα

Re: Δύσκολη ισεμβαδικότητα

Re: Δύσκολη ισεμβαδικότητα

Μέλη σε σύνδεση