Βασική άσκηση

KARKAR · #1

: Βασική άσκηση.png (11.4 KiB) Προβλήθηκε 213 φορές

Το τμήμα

ενώνει τα μέσα των πλευρών AB , AC

, τριγώνου ABC

. Βρείτε μια ιδιότητα του τριγώνου

ώστε η διχοτόμος της γωνίας $\hat{A}$ και η μεσοκάθετος του

, να τέμνονται σε σημείο

της βάσης

.

#2

KARKAR έγραψε: Δευ Ιούλ 27, 2026 10:09 am Βασική άσκηση.pngΤο τμήμα ενώνει τα μέσα των πλευρών , τριγώνου . Βρείτε μια ιδιότητα του τριγώνου

ώστε η διχοτόμος της γωνίας $\hat{A}$ και η μεσοκάθετος του , να τέμνονται σε σημείο της βάσης .

Άπειρα τρίγωνα

Τυχαίο

: Βασική άσκηση_Τυχαίο.png (23.55 KiB) Προβλήθηκε 163 φορές

Γράφω και μια γραμμή δικαιολόγηση.

Ειδικό

: Βασική άσκηση_ειδικό.png (23.98 KiB) Προβλήθηκε 163 φορές

α)

A \leqslant 90^\circ

β)

\boxed{\frac{{b + c}}{a} = \sqrt 2 }

TB = \dfrac{c}{{\sqrt 2 }}\,\,,\,\,TC = \dfrac{B}{{\sqrt 2 }}\,\,\,,\,\,a = TB + TC

. Άρα

\boxed{\dfrac{{b + c}}{a} = \sqrt 2 }

#3

KARKAR έγραψε: Δευ Ιούλ 27, 2026 10:09 am Βασική άσκηση.pngΤο τμήμα ενώνει τα μέσα των πλευρών , τριγώνου . Βρείτε μια ιδιότητα του τριγώνου

ώστε η διχοτόμος της γωνίας $\hat{A}$ και η μεσοκάθετος του , να τέμνονται σε σημείο της βάσης .

: Βασική.png (14.24 KiB) Προβλήθηκε 148 φορές

.
Είναι

BT= \dfrac {ac}{b+c}, \, CT= \dfrac {ab}{b+c}

. Επίσης

BK= \dfrac {c}{2} \cos B= \dfrac {c}{2} \dfrac {a^2+c^2-b^2}{2ac} = \dfrac {a^2+c^2-b^2}{4a}

και όμοια

CL= \dfrac {a^2+b^2-c^2}{4a}

.

Η συνθήκη η διχοτόμος και η μεσοκάθετος να τέμνονται στο σημείο

γράφεται

KT=TL

, ισοδύναμα

BT-BK=CT-CL

ή αλλιώς

\dfrac {ac}{b+c}- \dfrac {a^2+c^2-b^2}{4a} =\dfrac {ab}{b+c}- \dfrac {a^2+b^2-c^2}{4a}

Με απλές αναγωγές γίνεται

\dfrac {a}{b+c} =\dfrac {b+c}{2a}

, ισοδύναμα

\boxed {2a^2= (b+c)^2}

.

Επειδή τα βήματα είναι αντιστρέψιμα, η σχέση αυτή είναι ικανή και αναγκαία.

#4

KARKAR έγραψε: Δευ Ιούλ 27, 2026 10:09 am Βασική άσκηση.pngΤο τμήμα ενώνει τα μέσα των πλευρών , τριγώνου . Βρείτε μια ιδιότητα του τριγώνου

ώστε η διχοτόμος της γωνίας $\hat{A}$ και η μεσοκάθετος του , να τέμνονται σε σημείο της βάσης .

Έστω ότι έχουμε καταφέρει την κατασκευή του προβλήματος και

BC = a\,\,,\,\,CA = b\,\,\,,\,\,AB = c\,\,\,\mu \varepsilon \,\,a,b,c > 0

.

Δηλαδή η μεσοκάθετος του

τέμνει την

σε σημείο

. Επειδή

BC//MN

αναγκαστικά η προαναφερθείσα μεσοκάθετος

: Βασική άσκηση_ανάλυση.png (15.94 KiB) Προβλήθηκε 138 φορές

θα είναι κάθετη στην

στο σημείο

. Μα τότε από το Θ. του νότιου πόλου το τετράπλευρο AMTN

είναι εγγράψιμο

σε κύκλο με κέντρο

κάποιο σημείο της

, κατά συνέπεια ο κύκλος

\left( {A,M,T,N} \right)

είναι εφαπτόμενος της

στο

.

Μετά απ’ αυτά :

B{T^2} = BM \cdot BA\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,C{T^2} = CN \cdot CA

. Δηλαδή ,

B{T^2} = \dfrac{{{c^2}}}{2}\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,C{T^2} = \dfrac{{{b^2}}}{2}

, εμφανώς τώρα ,

\boxed{\frac{{b + c}}{a} = \sqrt 2 }

Μιχάλης Τσουρακάκης · #5

KARKAR έγραψε: Δευ Ιούλ 27, 2026 10:09 am Βασική άσκηση.pngΤο τμήμα ενώνει τα μέσα των πλευρών , τριγώνου . Βρείτε μια ιδιότητα του τριγώνου

ώστε η διχοτόμος της γωνίας $\hat{A}$ και η μεσοκάθετος του , να τέμνονται σε σημείο της βάσης .

Ας είναι

διάφορο του

. Από θ.διχοτόμου ,

BT= \dfrac{ac}{b+c}

και

TC= \dfrac{ab}{b+c}

Με θ.διαμέσου στα τρίγωνα

ATB,ATC

παίρνουμε

2m^2-AT^2=TB^2- \dfrac{c^2}{2} =TC^2- \dfrac{b^2}{2} \Rightarrow |b^2-c^2|=2|TC^2-TB^2|

Άρα

(b+c)|b-c|=2a^2. \dfrac{|b-c|}{b+c} \Rightarrow \dfrac{b+c}{a} = \sqrt{2}

: Βασική άσκηση.png (16.75 KiB) Προβλήθηκε 110 φορές

KARKAR · #6

Άλλη διατύπωση της ιδιότητας : Έχει δειχθεί παραπάνω ότι :

AB=BT\sqrt{2}

και

AC=CT\sqrt{2}

.

Επειδή :

AD^2=AB\cdot AC-BT\cdot TC

, τελικά :

AT^2=BT\cdot TC

, δηλαδή μπορούμε να πούμε :

" Η διχοτόμος

είναι ο γεωμετρικός μέσος των τμημάτων στα οποία διαιρεί την πλευρά

" .

Βασική άσκηση

Βασική άσκηση

Re: Βασική άσκηση

Re: Βασική άσκηση

Re: Βασική άσκηση

Re: Βασική άσκηση

Re: Βασική άσκηση

Μέλη σε σύνδεση