Το μέγιστο της μικρής

KARKAR · #1

: Το μέγιστο της μικρής.png (17.71 KiB) Προβλήθηκε 66 φορές

Στην προέκταση της ακτίνας OA=r

ενός κύκλου , θεωρούμε σημείο

και γράφουμε ημικύκλιο

διαμέτρου

, το οποίο τέμνει τον κύκλο στο σημείο

και την εφαπτομένη του κύκλου στο

,

στο σημείο

. Βρείτε την μέγιστη τιμή της

\tan{\theta} , (\theta=\widehat{PST} )

και την τότε θέση του σημείου

.

#2

KARKAR έγραψε: Παρ Σεπ 18, 2026 6:07 am Το μέγιστο της μικρής.pngΣτην προέκταση της ακτίνας ενός κύκλου , θεωρούμε σημείο και γράφουμε ημικύκλιο

διαμέτρου , το οποίο τέμνει τον κύκλο στο σημείο και την εφαπτομένη του κύκλου στο ,

στο σημείο . Βρείτε την μέγιστη τιμή της $\tan{\theta} , (\theta=\widehat{PST} )$ και την τότε θέση του σημείου .

\tan (\omega + \theta ) = \frac{{\sqrt {rx} }}{x} = \frac{{\sqrt r }}{{\sqrt x }},\tan \omega = \frac{r}{{\sqrt x \sqrt {x + 2r} }}

: Το μέγιστο της μικρής.png (16.85 KiB) Προβλήθηκε 59 φορές

\tan \theta = \tan \left( {(\omega + \theta ) - \omega } \right) = \frac{{\tan (\omega + \theta ) - \tan \omega }}{{1 + \tan \omega \tan (\omega + \theta )}} = ... = \frac{{\sqrt {rx} (\sqrt {x + 2r} - \sqrt r )}}{{x\sqrt {x + 2r} + r\sqrt r }}

και με τη βοήθεια παραγώγων βρίσκω

\boxed{{(\tan \theta )_{\max }} = \dfrac{{\sqrt 2 }}{5}}

όταν $\boxed{x=2r}$

ΥΓ. Αν θέλουμε να απλοποιήσουμε τον τύπο της εφαπτομένης, θέτουμε

x=rt

και προκύπτει

\tan \theta = \frac{{\sqrt t \left( {\sqrt {t + 2} - 1} \right)}}{{t\sqrt {t + 2} + 1}}

Το μέγιστο της μικρής

Το μέγιστο της μικρής

Re: Το μέγιστο της μικρής

Μέλη σε σύνδεση