Τρεχαγύρευε

KARKAR · #1

: Τρεχαγύρευε.png (11.32 KiB) Προβλήθηκε 132 φορές

Στην υποτείνουσα

του ορθογωνίου τριγώνου ABC

, με :

, βρίσκεται

σημείο

, τέτοιο ώστε : BS=3

και :

\widehat{BAS}=\dfrac{1}{2}\widehat{B}

. Υπολογίστε το τμήμα

.

#2

KARKAR έγραψε: Δευ Οκτ 12, 2026 7:21 pm Τρεχαγύρευε.pngΣτην υποτείνουσα του ορθογωνίου τριγώνου , με : , βρίσκεται

σημείο , τέτοιο ώστε : και : $\widehat{BAS}=\dfrac{1}{2}\widehat{B}$ . Υπολογίστε το τμήμα .

: τρεχ.png (9.73 KiB) Προβλήθηκε 122 φορές

.
Από τον Νόμο των Ημιτόνων στο τρίγωνο ABS

έχουμε

\dfrac {3}{\sin \theta}= \dfrac {8}{\sin (3\theta)}= \dfrac {8}{3\sin \theta - 4\sin ^3 \theta}

.

Άρα

3(3 -4\sin ^2 \theta )= 8

, οπότε

\sin ^2 \theta = \dfrac {1}{12}

Έπεται από το ορθογώνιο τρίγωνο ABC

ότι

BC= \dfrac {8}{\cos (2\theta)} = \dfrac {8}{1-2 \sin ^2 \theta } = \dfrac {48}{5}

και άρα

SC= BC-BS= \dfrac {48}{5} -3= \boxed {\dfrac {33}{5} }

Ιστοσελίδα · #3

KARKAR έγραψε: Δευ Οκτ 12, 2026 7:21 pm Στην υποτείνουσα του ορθογωνίου τριγώνου , με : , βρίσκεται

σημείο , τέτοιο ώστε : και : $\widehat{BAS}=\dfrac{1}{2}\widehat{B}$ . Υπολογίστε το τμήμα .

: shape.png (15.51 KiB) Προβλήθηκε 114 φορές

Μιχάλης Τσουρακάκης · #4

KARKAR έγραψε: Δευ Οκτ 12, 2026 7:21 pm Τρεχαγύρευε.pngΣτην υποτείνουσα του ορθογωνίου τριγώνου , με : , βρίσκεται

σημείο , τέτοιο ώστε : και : $\widehat{BAS}=\dfrac{1}{2}\widehat{B}$ . Υπολογίστε το τμήμα .

Θεωρούμε τη συμμετρική της γωνίας $\theta$ ως προς άξονα

Τότε

AM=MB=MA= \dfrac{a}{2}

και (θ.διχοτόμου)

\dfrac{MA}{AB}= \dfrac{y}{3} \Rightarrow \dfrac{ \dfrac{a}{2} }{8}= \dfrac{y}{3} \Rightarrow y= \dfrac{3a}{16}

y+3= \dfrac{a}{2} \Rightarrow \dfrac{3a}{16}+3= \dfrac{a}{2} \Rightarrow a= \dfrac{48}{5}

άρα

y= \dfrac{9}{5}

CS=x= \dfrac{a}{2} +y= \dfrac{24}{5}+ \dfrac{9}{5} = \dfrac{33}{5}

: Τρεχαγύρευε.png (15.52 KiB) Προβλήθηκε 85 φορές

#5

KARKAR έγραψε: Δευ Οκτ 12, 2026 7:21 pm Τρεχαγύρευε.pngΣτην υποτείνουσα του ορθογωνίου τριγώνου , με : , βρίσκεται

σημείο , τέτοιο ώστε : και : $\widehat{BAS}=\dfrac{1}{2}\widehat{B}$ . Υπολογίστε το τμήμα .

Στο τρίγωνο ASB,

λόγω της διπλάσιας γωνίας, είναι

A{S^2} = {3^2} + 3 \cdot 8 \Leftrightarrow AS = \sqrt {33}

και με νόμο ημιτόνου,

: Τρεχαγύρευε.png (10.26 KiB) Προβλήθηκε 58 φορές

\frac{3}{{\sqrt {33} }} = \frac{{\sin \theta }}{{\sin 2\theta }} \Leftrightarrow \cos \theta = \frac{{\sqrt {33} }}{6},\cos 2\theta = \frac{5}{6}

Αλλά,

\cos 2\theta = \dfrac{8}{{x + 3}} = \dfrac{5}{6} \Leftrightarrow

$\boxed{x=\frac{33}{5}}$

Τρεχαγύρευε

Τρεχαγύρευε

Re: Τρεχαγύρευε

Re: Τρεχαγύρευε

Re: Τρεχαγύρευε

Re: Τρεχαγύρευε

Μέλη σε σύνδεση