Βιετναμέζικη καθετότητα για όλους!

Dimessi · #1

Στο ημικύκλιο διαμέτρου $\overline {AOB}$ κινείται σημείο

Οι εφαπτομένες του ημικυκλίου στα

και

τέμνουν τις ημιευθείες

και

στα σημεία

και

αντίστοιχα και

E \equiv OC \cap AD.

Δείξτε ότι

BE \perp ID.

: Καθετότητα με ημικύκλιο .png (50.83 KiB) Προβλήθηκε 202 φορές

giannimani · #2

Έστω

η ορθή προβολή του

στην

και

το μέσο του

.
Από εδώ

(OM) \bot DI

. Αν

N= (OM)\cap (AE)

, τότε το

μέσο του

.
Αυτό εφόσον το AECT

τραπέζιο και καθώς το

είναι το κοινό σημείο των μη παραλλήλων πλευρών του
και το

το μέσο της μιας βάσης του η ευθεία (OM)

θα περάσει και από το μέσο της άλλης βάσης του.
Από το τρίγωνο ABE

έχουμε ότι

ON \parallel BE

(

,

μέσα των

,

αντίστοιχα), και καθώς

(ON)\bot DI

, τότε

BE \bot DI

.

: perp.png (40.19 KiB) Προβλήθηκε 190 φορές

Dimessi · #3

Τα σημεία

I \equiv BB \cap AC

,

D \equiv AA \cap BC

,

Q \equiv CC \cap AB

είναι συνευθειακά και

QC \perp EO \wedge EA \perp QO \Longrightarrow W \equiv QC \cap EA

το ορθόκεντρο του

\vartriangle QEO \Longrightarrow OW \perp EQ

\overset{OW \perp AC \left (W \equiv AA \cap CC \right )}\Longrightarrow EQ \parallel AC \perp \overline {BCD}

\overset{ED \perp QB} \Longrightarrow D

το ορθόκεντρο του

\vartriangle EQB

\Longrightarrow \overline {QDI}\perp EB

.

#4

Dimessi έγραψε: Τρί Οκτ 20, 2026 1:13 am Στο ημικύκλιο διαμέτρου $\overline {AOB}$ κινείται σημείο
Οι εφαπτομένες του ημικυκλίου στα και τέμνουν τις ημιευθείες και στα σημεία και αντίστοιχα και $E \equiv OC \cap AD.$
Δείξτε ότι $BE \perp ID.$
Καθετότητα με ημικύκλιο .png

: Βιετν.png (33.42 KiB) Προβλήθηκε 108 φορές

.
Ας το δούμε με Αναλυτική Γεωμετρία:

Με αρχή των αξόνων το

είναι, χωρίς βλάβη,

A(-1,0), B(1,0)

και άρα

C(\sin \theta, \cos\theta)

.

Οι

είναι, αντίστοιχα, οι

y= \dfrac {\cos \theta}{\sin \theta +1}(x+1)

και

y= \dfrac {\cos \theta}{\sin \theta -1}(x-1)

. Οπότε (άμεσο) είναι

D\left ( -1, \dfrac {2\cos \theta}{1-\sin \theta } \right)

και

I\left ( 1, \dfrac {2\cos \theta}{1+\sin \theta } \right)

.

Επίσης η

είναι η

y= -\dfrac {\cos \theta}{\sin \theta }x

και άρα

E\left ( -1, \dfrac {\cos \theta}{\sin \theta } \right)

.

Άρα ως προς τις κλίσεις, η

έχει κλίση

\dfrac {\dfrac {\cos \theta}{\sin \theta }}{-2} = -\dfrac {\cos \theta}{2\sin \theta }

και η

έχει

\dfrac { \dfrac {2\cos \theta}{1+\sin \theta } -\dfrac {2\cos \theta}{1-\sin \theta } }{2}=\dfrac {2\sin\theta}{\cos \theta }

Οπότε η ζητούμενη καθετότητα

BE \perp ID

έπεται από την

-\dfrac {\cos \theta}{2\sin \theta } \cdot \dfrac {2\sin\theta}{\cos \theta }=-1

Βιετναμέζικη καθετότητα για όλους!

Βιετναμέζικη καθετότητα για όλους!

Re: Βιετναμέζικη καθετότητα για όλους!

Re: Βιετναμέζικη καθετότητα για όλους!

Re: Βιετναμέζικη καθετότητα για όλους!

Μέλη σε σύνδεση