Άγνωστη ισότητα

KARKAR · #1

: Άγνωστη ισότητα.png (14.16 KiB) Προβλήθηκε 153 φορές

Στο τρίγωνο ABC

το σημείο

είναι το μέσο της πλευράς AB=5

και το

το μέσο

της AC=7

. Η

είναι διχοτόμος . Αν DM=DN

, υπολογίστε την πλευρά

.

#2

KARKAR έγραψε: Σάβ Οκτ 24, 2026 6:02 am Άγνωστη ισότητα.pngΣτο τρίγωνο το σημείο είναι το μέσο της πλευράς και το το μέσο

της . Η είναι διχοτόμος . Αν , υπολογίστε την πλευρά .

Με θεώρημα διχοτόμων βρίσκω

BD=\dfrac{5a}{12}, DC=\dfrac{7a}{12}.

Εφαρμόζω το 1ο θεώρημα διαμέσων στα τρίγωνα ACD, ABD:

: Άγνωστη ισότητα.png (12.38 KiB) Προβλήθηκε 150 φορές

\dfrac{{49{a^2}}}{{144}} + A{D^2} = 2D{N^2} + \dfrac{{49}}{2}

\dfrac{{25{a^2}}}{{144}} + A{D^2} = 2D{M^2} + \dfrac{{25}}{2}

Με αφαίρεση κατά μέλη κι επειδή

DM=DN,

παίρνω τελικά

\boxed{a=6\sqrt 2}

Ιστοσελίδα · #3

KARKAR έγραψε: Σάβ Οκτ 24, 2026 6:02 am Στο τρίγωνο το σημείο είναι το μέσο της πλευράς και το το μέσο

της . Η είναι διχοτόμος . Αν , υπολογίστε την πλευρά .

: shape.png (26.31 KiB) Προβλήθηκε 143 φορές

#4

KARKAR έγραψε: Σάβ Οκτ 24, 2026 6:02 am Άγνωστη ισότητα.pngΣτο τρίγωνο το σημείο είναι το μέσο της πλευράς και το το μέσο

της . Η είναι διχοτόμος . Αν , υπολογίστε την πλευρά .

Ας είναι

. Θα ισχύουν :

\boxed{DB = \frac{{5a}}{{12}}\,\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,DC = \frac{{7a}}{{12}}}

και από το μήκος της διχοτόμου

A{D^2} = AB \cdot AC - DB \cdot DC \Rightarrow \boxed{A{D^2} = 35\frac{{12 - {a^2}}}{{12}}}

(1) . Στα

\vartriangle DAB\,\,,\,\,\vartriangle DAC

εφαρμόζω Θ. διαμέσων και αφαιρώ κατά μέλη.

Προκύπτει :

\boxed{{{(\frac{{7a}}{{12}})}^2} - {{(\frac{{5a}}{{12}})}^2} = \frac{{49 - 25}}{2} \Rightarrow a = 6\sqrt 2 }

Με πρόλαβαν τα τσιχάντ όπως λέει και ο Κώστας Ο Βήττας

#5

KARKAR έγραψε: Σάβ Οκτ 24, 2026 6:02 am Άγνωστη ισότητα.pngΣτο τρίγωνο το σημείο είναι το μέσο της πλευράς και το το μέσο

της . Η είναι διχοτόμος . Αν , υπολογίστε την πλευρά .

: Αγν ισ.png (17.77 KiB) Προβλήθηκε 130 φορές

.
Από το θεώρημα των διχοτόμων είναι

BD=\dfrac {5a}{12}, \, CD=\dfrac {7a}{12}

.

Από τον Νόμο των συνημιτόνων στα τρίγωνα

BDM, CDN

, αντίστοιχα, είναι

MD^2= \left ( \dfrac {5}{2} \right )^2+ \left ( \dfrac {5a}{12} \right )^2- 2\cdot \left ( \dfrac {5}{2} \right ) \left ( \dfrac {5a}{12} \right )\cos B = \left ( \dfrac {5}{2} \right )^2+ \left ( \dfrac {5a}{12} \right )^2- 2\cdot \left ( \dfrac {5}{2} \right ) \left ( \dfrac {5a}{12} \right )\dfrac {5^2+a^2-7^2} {2\cdot 5 \cdot a}

και

ND^2= \left ( \dfrac {7}{2} \right )^2+ \left ( \dfrac {7a}{12} \right )^2- 2\cdot \left ( \dfrac {7}{2} \right ) \left ( \dfrac {7a}{12} \right )\cos C = \left ( \dfrac {7}{2} \right )^2+ \left ( \dfrac {7a}{12} \right )^2- 2\cdot \left ( \dfrac {7}{2} \right ) \left ( \dfrac {7a}{12} \right )\dfrac {7^2+a^2-5^2} {2\cdot 7 \cdot a}

Εξισώνοντας τα δεξιά μέλη αφού τα αριστερά είναι ίσα, καταλήγουμε μετά τις απολοιήσεις στην

a^2=72

. Άρα

\boxed {a=6\sqrt 2}

Μιχάλης Τσουρακάκης · #6

KARKAR έγραψε: Σάβ Οκτ 24, 2026 6:02 am Άγνωστη ισότητα.pngΣτο τρίγωνο το σημείο είναι το μέσο της πλευράς και το το μέσο

της . Η είναι διχοτόμος . Αν , υπολογίστε την πλευρά .

Η παράλληλη από το

προς την

τέμνει τις DM,DN

στα

αντίστοιχα.

Επομένως

AEBD,AZCD

είναι παραλ/μμα άρα και το EZCB

και

Η κάθετη από το

στην

είναι μεσοκάθετη της

κι έστω

συμμετρικό του

ως προς

οπότε

AHMN

ισοσκελές τραπέζιο

Από θ.διχοτόμου παίρνουμε

BD=AE= \dfrac{5a}{12} \Rightarrow AP= \dfrac{a}{2}- \dfrac{5 a}{12}= \dfrac{a}{12} \Rightarrow AH= \dfrac{a}{6}

Πτολεμαίος στο AMNH

δίνει

AH.MN+AM^2=AN^2 \Rightarrow \dfrac{a}{6}. \dfrac{a}{2}+ \dfrac{25}{4} = \dfrac{49}{4} \Rightarrow a=6 \sqrt{2}

: Άγνωστη ισότητα.png (34.39 KiB) Προβλήθηκε 108 φορές

Γιώργος Μήτσιος · #7

Καλημέρα σε όλους!

KARKAR έγραψε: Σάβ Οκτ 24, 2026 6:02 am Στο τρίγωνο το σημείο είναι το μέσο της πλευράς και το το μέσο

της . Η είναι διχοτόμος . Αν , υπολογίστε την πλευρά .

: Αγνωστη ισότητα.png (25.4 KiB) Προβλήθηκε 58 φορές

Η $MN \parallel BC$ διέρχεται από το μέσον

της

. Είναι

οπότε γωνίες x>y

και

A \widehat MD >A\widehat ND

Τα τρίγωνα

MAD,NAD

έχουν ίσα στοιχεία Π-Π-Γ (μη περιεχόμενη) συνεπώς

A \widehat MD +A\widehat ND = 180^0

(αφού δεν είναι ίσες)

οπότε το MAND

είναι εγγράψιμο .Έτσι έχουμε

LA \cdot LD =LM \cdot LN ..(1)

.

Είναι

LA=LD = AD/2

, ενώ

LM=BD/2=5a/24 ..LN=DC/2 =7a/24

, έτσι η

γίνεται :

AD^2/4= 35a^2/576 ..(2)

Από τύπο της διχοτόμου (όπως και ο Νίκος πριν) έχουμε

AD^2=\dfrac{35}{144}(144-a^2)..(3)

Με αντικατάσταση του AD^2

στην

βρίσκουμε τελικά

a=6\sqrt{}2

.

Φιλικά, Γιώργος.

Άγνωστη ισότητα

Άγνωστη ισότητα

Re: Άγνωστη ισότητα

Re: Άγνωστη ισότητα

Re: Άγνωστη ισότητα

Re: Άγνωστη ισότητα

Re: Άγνωστη ισότητα

Re: Άγνωστη ισότητα

Μέλη σε σύνδεση