Δευτερευόντως 2

KARKAR · #1

: Δευτερευόντως 2.png (13.82 KiB) Προβλήθηκε 177 φορές

Στο ορθογώνιο τρίγωνο ABC

, το ύψος

και η διάμεσος

, τέμνονται

στο σημείο

. Αν η

είναι η διχοτόμος της γωνίας $\hat{C}$ , υπολογίστε το $\sin B$ .

#2

KARKAR έγραψε: Παρ Οκτ 30, 2026 12:09 pm Δευτερευόντως 2.pngΣτο ορθογώνιο τρίγωνο , το ύψος και η διάμεσος , τέμνονται

στο σημείο . Αν η είναι η διχοτόμος της γωνίας $\hat{C}$ , υπολογίστε το $\sin B$ .

: Δευτ.png (14.79 KiB) Προβλήθηκε 146 φορές

.
Μπορεί να λυθεί γεωμετρικά με χρήση όμοιων τριγώνων και Μενάλαο, αλλά θα το κάνω με Αναλυτική Γεωμετρία γιατί δεν απαιτεί καθόλου σκέψη.

Με αρχή των αξόνων το

είναι

B(c,0), C(0,b), M\left (0, \dfrac {b}{2}\right )

. Oι

BC, BM, AD

έχουν εξισώσεις

y=-\dfrac {b}{c}(x-c), \, y=-\dfrac {b}{2c}(x-c), \, y=-\dfrac {c}{b}

, αντίστοιχα

Εύκολα τώρα βρίσκουμε τις τομές τους

S\left (\dfrac {b^2c}{2c^2+b^2}, \dfrac {bc^2}{2c^2+b^2}\right ), \, D\left (\dfrac {b^2c}{c^2+b^2}, \dfrac {bc^2}{c^2+b^2}\right )

Αμέσως λοιπόν

SD= \dfrac {bc^3}{(2c^2+b^2)\sqrt {b^2+c^2}}= \dfrac {bc^3}{(2c^2+b^2)a}

. Επίσης είναι

TS= S_x=\dfrac {b^2c}{2c^2+b^2}

Τώρα, αν το

είναι στην διχοτόμο θα ισχύει SD=TS

, εδώ

\dfrac {bc^3}{(2c^2+b^2)a}=\dfrac {b^2c}{2c^2+b^2}

, ισοδύναμα

\boxed {c^2=ab}

(*)

Άρα

\sin B= \dfrac {b}{a}= \dfrac {ab}{a^2}= ^{(*)} \dfrac {c^2}{a^2}= \cos ^2 B =1-\sin ^2 B

.

Από την πρώτη και την τελευταία, λύνοντας θα βρούμε

\boxed {\sin B =\dfrac { \sqrt 5-1}{2} = \dfrac {1}{\phi} = \phi -1}

Μιχάλης Τσουρακάκης · #3

KARKAR έγραψε: Παρ Οκτ 30, 2026 12:09 pm Δευτερευόντως 2.pngΣτο ορθογώνιο τρίγωνο , το ύψος και η διάμεσος , τέμνονται

στο σημείο . Αν η είναι η διχοτόμος της γωνίας $\hat{C}$ , υπολογίστε το $\sin B$ .

Από θ.διχοτόμου

\dfrac{BE}{EA} = \dfrac{a}{b}

και

\dfrac{BS}{SM} = \dfrac{a}{CM}=\dfrac{a}{ \dfrac{b}{2} }= \dfrac{2a}{b}

Ακόμη

\dfrac{BD}{DC}= \dfrac{c^2}{b^2} = \dfrac{a^2-b^2}{b^2}

Από Van Aubel

\dfrac{BS}{SM}= \dfrac{BE}{EA}+ \dfrac{BD}{DC} \Rightarrow \dfrac{a}{b} + \dfrac{a^2-b^2}{b^2} = \dfrac{2a}{b} \Rightarrow (\dfrac{b}{a} )^2+ \dfrac{b}{a}-1=0

Άρα

sinB= \dfrac{b}{a}= \dfrac{ \sqrt{5}-1 }{2}

: Δευτερευόντως 2.png (19.49 KiB) Προβλήθηκε 131 φορές

#4

KARKAR έγραψε: Παρ Οκτ 30, 2026 12:09 pm Δευτερευόντως 2.pngΣτο ορθογώνιο τρίγωνο , το ύψος και η διάμεσος , τέμνονται

στο σημείο . Αν η είναι η διχοτόμος της γωνίας $\hat{C}$ , υπολογίστε το $\sin B$ .

Θεωρούμε μονάδα μέτρησης το

\boxed{BC = 1}

.

Θ Μενελάου στο $\vartriangle ADC$ με διατέμνουσα την

,

\boxed{\frac{{AS}}{{SD}} \cdot \frac{{DB}}{{BC}} \cdot \frac{{CM}}{{MA}} = 1 \Rightarrow \frac{k}{m} \cdot \frac{{1 - x}}{1} = 1\,\,\,(1)}

: δευτερευόντως.png (14.4 KiB) Προβλήθηκε 95 φορές

Θ διχοτόμων στο $\vartriangle ADC$ ,

\boxed{\frac{{AS}}{{SD}} = \frac{{AC}}{{DC}} \Rightarrow \frac{k}{m} = \frac{b}{x}\,\,\,(2)}

. Έτσι λόγω της (1)

προκύπτει :

\boxed{\,b = \frac{x}{{1 - x}}\,\,\,\,(3)}

.

Αλλά από το $\vartriangle ABC$ ,

A{C^2} = CD \cdot CB \Rightarrow {b^2} = x \cdot 1 = x

και η

δίδει ,

\boxed{b = \frac{{{b^2}}}{{1 - {b^2}}} \Rightarrow b = 1 - {b^2} \Rightarrow b = \frac{{ - 1 + \sqrt 5 }}{2} = \frac{1}{\varphi }}

.

Όμως

\sin B = \dfrac{{AC}}{{BC}} = b

και η προηγούμενη δίδει :

\boxed{\sin B = \frac{{ - 1 + \sqrt 5 }}{2}}

.

#5

KARKAR έγραψε: Παρ Οκτ 30, 2026 12:09 pm Δευτερευόντως 2.pngΣτο ορθογώνιο τρίγωνο , το ύψος και η διάμεσος , τέμνονται

στο σημείο . Αν η είναι η διχοτόμος της γωνίας $\hat{C}$ , υπολογίστε το $\sin B$ .

Παρόμοιο. Με $\rm Ceva$ κι επειδή

AM=MC,

παίρνω:

: Δευτερευόντως 2.png (12.05 KiB) Προβλήθηκε 66 φορές

\dfrac{{AE}}{{EB}} = \dfrac{{CD}}{{DB}} \Leftrightarrow \dfrac{b}{a} = \dfrac{{{b^2}}}{{{c^2}}} \Leftrightarrow {c^2} = ab \Leftrightarrow {b^2} + ab - {a^2} = 0 \Leftrightarrow

\boxed{\sin B=\frac{b}{a}=\frac{1}{\phi}}

#6

george visvikis έγραψε: Κυρ Νοέμ 01, 2026 9:41 am
KARKAR έγραψε: Παρ Οκτ 30, 2026 12:09 pm Δευτερευόντως 2.pngΣτο ορθογώνιο τρίγωνο , το ύψος και η διάμεσος , τέμνονται

στο σημείο . Αν η είναι η διχοτόμος της γωνίας $\hat{C}$ , υπολογίστε το $\sin B$ .
Παρόμοιο. Με $\rm Ceva$ κι επειδή $AM=MC,$ παίρνω:
Δευτερευόντως 2.png
$\dfrac{{AE}}{{EB}} = \dfrac{{CD}}{{DB}} \Leftrightarrow \dfrac{b}{a} = \dfrac{{{b^2}}}{{{c^2}}} \Leftrightarrow {c^2} = ab \Leftrightarrow {b^2} + ab - {a^2} = 0 \Leftrightarrow$ $\boxed{\sin B=\frac{b}{a}=\frac{1}{\phi}}$

Δευτερευόντως 2

Δευτερευόντως 2

Re: Δευτερευόντως 2

Re: Δευτερευόντως 2

Re: Δευτερευόντως 2

Re: Δευτερευόντως 2

Re: Δευτερευόντως 2

Μέλη σε σύνδεση