Ίσα που ακουμπάει

KARKAR · #1

: Ίσα που ακουμπάει.png (11.7 KiB) Προβλήθηκε 134 φορές

Στο ορθογώνιο τρίγωνο ABC

, το

είναι το μέσο της

και το

σημείο

της υποτείνουσας

, τέτοιο ώστε :

BS=\dfrac{2}{3}BC

. Βρείτε μια ιδιότητα του

τριγώνου , ώστε η

να εφάπτεται με τον κύκλο

(A , M , S )

.

#2

KARKAR έγραψε: Πέμ Νοέμ 05, 2026 6:43 pm Ίσα που ακουμπάει.pngΣτο ορθογώνιο τρίγωνο , το είναι το μέσο της και το σημείο

της υποτείνουσας , τέτοιο ώστε : $BS=\dfrac{2}{3}BC$ . Βρείτε μια ιδιότητα του

τριγώνου , ώστε η να εφάπτεται με τον κύκλο $(A , M , S )$ .

.
Aπό την δύναμη του σημείου

είναι

CS^2=CM\cdot CA

, ισοδύναμα

\left( \dfrac {a}{3}\right )^2= \dfrac {b}{2}\cdot b

.

Δηλαδή

\boxed { b = \dfrac {a\sqrt 2}{3}}

Dimessi · #3

To

\sqrt{\dfrac{9}{2}}

έχει ομορφιά στις πράξεις;

#4

KARKAR έγραψε: Πέμ Νοέμ 05, 2026 6:43 pm Στο ορθογώνιο τρίγωνο , το είναι το μέσο της και το σημείο

της υποτείνουσας , τέτοιο ώστε : $BS=\dfrac{2}{3}BC$ . Βρείτε μια ιδιότητα του

τριγώνου , ώστε η να εφάπτεται με τον κύκλο $(A , M , S )$ .

.

: και άλλα.png (22.09 KiB) Προβλήθηκε 82 φορές

.
Ας δούμε μερικές ακόμη ιδιότητες του σχήματος, στην περίπτωση που ισχύει η ιδιότητα που περιγράφει η άσκηση.

α) Δείξτε ότι οι διχοτόμοι της γωνίας

εφάπτονται του κύκλου (C, CS)

.

β) Το τρίγωνο CTM

είναι ισοσκελές ορθογώνιο.

KARKAR · #5

: Ίσα που ακουμπάει.png (11.7 KiB) Προβλήθηκε 57 φορές

Μία ακόμη : Αν ο κύκλος τέμνει την

στο

, υπολογίστε τον λόγο : $\dfrac{AP}{PB}$ .

Σε μια προσπάθεια να "ζωντανέψει" η πράγματι φτωχή αρχική εκδοχή της άσκησης

#6

KARKAR έγραψε: Παρ Νοέμ 06, 2026 5:03 am Μία ακόμη : Αν ο κύκλος τέμνει την στο ${\color {red}S}$ , υπολογίστε τον λόγο : $\dfrac{AP}{PB}$ .

: isa.png (10 KiB) Προβλήθηκε 40 φορές

.
(Μικρό τυπογραφικό,

αντί για

, όπως στο σχήμα.)

Από τα παραπάνω

b^2=\cfrac {2}{9} a^2

. Αλλά

, οπότε

c^2= \dfrac {7}{9} a^2

, ισοδύναμα

a^2= \cfrac {9}{7} c^2

.

Τώρα, από την δύναμη του

είναι

c\cdot BP= AB\cdot BP= BS ^2= \left ( \dfrac {2}{3} a\right )^2= \dfrac {4}{9} a^2= \dfrac {4}{9} a^2= \dfrac {4}{7} c^2

Άρα

BP= \dfrac {4}{7} c

, οπότε και

AP= \dfrac {3}{7} c

. Έπεται

\boxed {\dfrac{AP}{PB}= \dfrac{3}{4}}

Ίσα που ακουμπάει

Ίσα που ακουμπάει

Re: Ίσα που ακουμπάει

Re: Ίσα που ακουμπάει

Re: Ίσα που ακουμπάει

Re: Ίσα που ακουμπάει

Re: Ίσα που ακουμπάει

Μέλη σε σύνδεση