Επιλογή σημείου

[KARKAR]

Επιλογή σημείου.png (12 KiB) Προβλήθηκε 106 φορές

Στο τρίγωνο , είναι : . Από σημείο της φέρουμε :

και : . Πώς θα επιλέξουμε το σημείο , έτσι ώστε : ;

[george visvikis]

Επιλογή σημείου.pngΣτο τρίγωνο , είναι : . Από σημείο της φέρουμε :

και : . Πώς θα επιλέξουμε το σημείο , έτσι ώστε : ;

Με νόμο συνημιτόνου βρίσκω και αν θέσω θα είναι

Επιλογή σημείου.Κ.png (10.62 KiB) Προβλήθηκε 96 φορές

[Mihalis_Lambrou]

Επιλογή σημείου.pngΣτο τρίγωνο , είναι : . Από σημείο της φέρουμε :

και : . Πώς θα επιλέξουμε το σημείο , έτσι ώστε : ;

.

Επιλ σημ.png (23.21 KiB) Προβλήθηκε 88 φορές

.
Πολύ ωραία και λιτή η λύση του Γιώργου. Έχω μία παραλλαγή της αλλά με πιο πολλές πράξεις. Ωστόσο εδώ κάνω μια με γραφική μέθοδο, χωρίς μετρικές σχέσεις (μόνο τα κύρια βήματα). Εννοείται ότι η εν λόγω μέθοδος ισχύει για την γενική περίπτωση τριγώνου.

Αρκεί να βρούμε την θέση του μέσου της υποτείνουσας . Tην βρίσκουμε ως τομή δύο ευθειών (των κόκκινων).

α) Πρώτον, καθώς κινείται το , ισοδύναμα το , αποδεικνύεται ότι το μέσον της υποτείνουσας κινείται σε ευθεία (αφήνω την απόδειξη). Την ευθεία αυτή μπορούμε να την προσδιορίσουμε από δύο ακραίες θέσεις της. Συγκεκριμένα διέρχεται από το μέσον της (προκύπτει από την περίπτωση που το συμπέσει με το ). Επίσης διέρχεται από το μέσον τoυ ύψους (προκύπτει από την περίπτωση που το συμπέσει με το ). Είναι λοιπόν η ευθεία .

β) Δεύτερον, καθώς κινείται το , αποδεικνύεται ότι το μέσον της , όπου , κινείται στην διάμεσο (άμεσο).

H τομή των δύο τόπων μας δίνει το (δηλαδή του σημείου που είναι συγχρόνως το μέσον της υποτείνουσας του ορθογωνίου τριγώνου και της παράλληλης της από το . Τελειώσαμε.

[george visvikis]

Επιλογή σημείου.pngΣτο τρίγωνο , είναι : . Από σημείο της φέρουμε :

και : . Πώς θα επιλέξουμε το σημείο , έτσι ώστε : ;

.
Επιλ σημ.png
.
Πολύ ωραία και λιτή η λύση του Γιώργου. Έχω μία παραλλαγή της αλλά με πιο πολλές πράξεις. Ωστόσο εδώ κάνω μια με γραφική μέθοδο, χωρίς μετρικές σχέσεις (μόνο τα κύρια βήματα). Εννοείται ότι η εν λόγω μέθοδος ισχύει για την γενική περίπτωση τριγώνου.

Αρκεί να βρούμε την θέση του μέσου της υποτείνουσας . Tην βρίσκουμε ως τομή δύο ευθειών (των κόκκινων).

α) Πρώτον, καθώς κινείται το , ισοδύναμα το , αποδεικνύεται ότι το μέσον της υποτείνουσας κινείται σε ευθεία (αφήνω την απόδειξη). Την ευθεία αυτή μπορούμε να την προσδιορίσουμε από δύο ακραίες θέσεις της. Συγκεκριμένα διέρχεται από το μέσον της (προκύπτει από την περίπτωση που το συμπέσει με το ). Επίσης διέρχεται από το μέσον τoυ ύψους (προκύπτει από την περίπτωση που το συμπέσει με το ). Είναι λοιπόν η ευθεία .

β) Δεύτερον, καθώς κινείται το , αποδεικνύεται ότι το μέσον της , όπου , κινείται στην διάμεσο (άμεσο).

H τομή των δύο τόπων μας δίνει το (δηλαδή του σημείου που είναι συγχρόνως το μέσον της υποτείνουσας του ορθογωνίου τριγώνου και της παράλληλης της από το . Τελειώσαμε.

Πολύ ωραία η γεωμετρική κατασκευή Μιχάλη

[Doloros]

Επιλογή σημείου.pngΣτο τρίγωνο , είναι : . Από σημείο της φέρουμε :

και : . Πώς θα επιλέξουμε το σημείο , έτσι ώστε : ;

Πράγματι πολύ ωραία η κατασκευή του Κ. Λάμπρου ,

Από εφαρμογή του βιβλίου Γεωμετρίας τεύχος Β , έχουμε : και θέτω

Όμως , συνεπώς και αναγκαστικά .

Επιλογή σημείου_new.png (11.63 KiB) Προβλήθηκε 50 φορές

Στο με υποτείνουσα , και κάθετες πλευρές , από το Π. Θ. έχω τελικά :

και άρα , . Έτσι πρώτα προσδιορίζω το , μετά , τέλος .

[Μιχάλης Τσουρακάκης]

Επιλογή σημείου.pngΣτο τρίγωνο , είναι : . Από σημείο της φέρουμε :

και : . Πώς θα επιλέξουμε το σημείο , έτσι ώστε : ;

Ας είναι κι έστω ύψος που τέμνει την στο και

Επειδή και μέσον της θα είναι (θ.κ.δέσμης)

Από Ήρωνα άρα κι από Π.Θ στο

Μενέλαος στο με διατέμνουσα

και με CEVA

Επιλογή σημείου.png (23.44 KiB) Προβλήθηκε 31 φορές