Υπερενδιαφέρων λόγος

KARKAR · #1

: Υπερενδιαφέρων λόγος.png (17.1 KiB) Προβλήθηκε 627 φορές

Α) Να βρεθούν όλα τα σημεία του κύκλου : (x-1)^2+(y-2)^2=34

, τα οποία βρίσκονται

στο πρώτο τεταρτημόριο και έχουν ακέραιες συντεταγμένες .

Β) Από σημείο

του κύκλου του πρώτου ερωτήματος , φέρουμε δύο τέμνουσες SAB

και

του κύκλου : (x-1)^2+(y-2)^2=9

, ώστε :

. Να βρεθεί ο λόγος : $\dfrac{BD}{AC}$

Manolis Petrakis · #2

A) Αρκεί να λύσουμε την (x-1)^2+(y-2)^2=34

με $x,y\in \mathbb{N}$
Άρα (x-1)^2=25

και

ή

και

(το μόνο ζεύγος τέλειων τετραγώνων ακεραίών που έχουν άθροισμα

είναι τα

και

)
$\Leftrightarrow (x,y)=(6,5),(4,7)$
B)Από μετρικές σχέσεις στον κύκλο έχουμε:
$SK^2-AK^2=SA\cdot SB\Leftrightarrow 34-9=SA(SA+5)\Leftrightarrow SA^2+5SA-25=0\Leftrightarrow SA=\dfrac{5\sqrt 5-5}{2}$
Ομοίως $SC=\dfrac{5\sqrt 5-5}{2}$
Έτσι $SB=SD=SA+5=\dfrac{5\sqrt 5+5}{2}$
Έτσι τα SAC

και

είναι ισοσκελή και όμοια επομένως $\dfrac{BD}{AC}=\dfrac{SB}{SA}=\dfrac{5\sqrt 5+5}{5\sqrt 5 -5}=\dfrac{\sqrt 5+1}{\sqrt 5 -1}=\dfrac{3+\sqrt 5}{2}=\phi ^2$

#3

KARKAR έγραψε: Παρ Δεκ 18, 2020 2:21 pm Υπερενδιαφέρων λόγος.png

Β) Από σημείο του κύκλου του πρώτου ερωτήματος , φέρουμε δύο τέμνουσες και

του κύκλου : , ώστε : . Να βρεθεί ο λόγος : $\dfrac{BD}{AC}$

Για το Β). Έστω

το απόστημα της χορδής DC.

: Υπερενδιαφέρων.png (22.39 KiB) Προβλήθηκε 564 φορές

Κριτήριο καθετότητας: $\displaystyle K{S^2} - K{D^2} = S{M^2} - M{D^2} \Leftrightarrow 34 - 9 = S{M^2} - \frac{{25}}{4} \Leftrightarrow SM = \frac{{5\sqrt 5 }}{2}$

Άρα, $\displaystyle SD = SM + MD = \frac{{5(\sqrt 5 + 1)}}{2} = 5\Phi \Rightarrow SC = SD - 5 = 5(\Phi - 1)$

Το τρίγωνο SBD

είναι ισοσκελές και $\displaystyle SC||BD \Leftrightarrow \frac{{BD}}{{AC}} = \frac{{SD}}{{SC}} = \frac{\Phi }{{\Phi - 1}}$ ή $\boxed{\frac{{BD}}{{AC}} = {\Phi ^2}}$

Υπερενδιαφέρων λόγος

Υπερενδιαφέρων λόγος

Re: Υπερενδιαφέρων λόγος

Re: Υπερενδιαφέρων λόγος

Μέλη σε σύνδεση