Αριθμοί σε κύκλο

[socrates]

Δέκα θετικοί ακέραιοι είναι γραμμένοι σε κύκλο. Κάθε αριθμός είναι κατά ένα μεγαλύτερος από το μέγιστο κοινό διαιρέτη των δύο γειτονικών του. Να βρείτε το άθροισμα των δέκα αυτών αριθμών.

[Demetres]

Ας παρατηρήσουμε ότι δεν μπορεί κάποιος από τους αριθμούς να είναι ίσο με αφού τότε ο μέγιστος κοινός διαιρέτης των δύο γειτονικών του θα ήταν ίσος με , άτοπο.

Έστω ο μεγαλύτερος από τους αριθμούς. Οι δυο γειτονικοί του έχουν μέγιστο κοινό διαιρέτη το άρα πρέπει και οι δύο να είναι μεγαλύτεροι ή ίσοι από . Δεν μπορούν να είναι και οι δύο ίσοι με (τότε ο μέγιστος κοινός διαιρέτης είναι ίσος και αυτός με άρα είτε ο ένας είναι ίσος με και ο άλλος με , είτε και οι δύο είναι ίσοι με .

Στην πρώτη περίπτωση πρέπει , άρα . Χωρίς βλάβη της γενικότητας έχουμε διαδοχικά τους αριθμούς . Αυτό είναι άτοπο αφού είδαμε ότι κανένας αριθμός δεν είναι ίσος με .


Στη δεύτερη περίπτωση έχουμε διαδοχικά τους αριθμούς . Έστω ο επόμενος. Τότε , άρα . Επειδή τότε . Αν τότε , άτοπο. Αν τότε και άρα και . Τότε έχουμε διαδοχικά τους αριθμούς . Κάθε άλλος αριθμός πρέπει να είναι ίσος με ή . Εύκολα βρίσκουμε ότι η ακολουθία πρέπει να είναι η . Αλλά τότε ο κύκλος έχει και τρία διαδοχικά δυάρια, άτοπο.

Πρέπει λοιπόν . Τότε άρα και ή . Αν τότε , άτοπο. Άρα . Η ακολουθία ξεκινάει με . Κάθε άλλος αριθμός είναι ίσος με ή . Ο επόμενος αριθμός πρέπει να είναι ο ή ο . Δεν μπορεί όμως να είναι ο διότι αυτός πρέπει να έχει δίπλα του δύο τριάρια. Άρα συνεχίζουμε με . Ο επόμενος αριθμός είναι ο και ο μεθεπόμενος είτε ο είτε ο . Αν είναι ο καταλήγουμε στην η οποία είναι αποδεκτή. Αν είναι ο καταλήγουμε στις και οι οποίες όμως απορρίπτονται και οι δύο όταν κλείσουμε τον κύκλο.

Άρα οι αριθμοί είναι οι και έχουμε άθροισμα .