Προ και μετά Descartes

KARKAR · #1

: Προ και μετά Descartes.png (5.74 KiB) Προβλήθηκε 836 φορές

Τα σταθερά σημεία A , B

, βρίσκονται στο ίδιο ημιεπίπεδο ως προς μία ευθεία $\varepsilon$ , επί της οποίας κινείται σημείο

.

Η εύρεση της θέσης του

για την οποία ελαχιστοποιείται το SA+SB

, είναι θέμα πανέμορφο και πασίγνωστο .

Ας ασχοληθούμε με τα ελάχιστα των : SA^2+SB^2

και $SA\cdot SB$ , προσπαθώντας να δώσουμε προκαρτεσιανή

και μετακαρσιανή λύση . Για διευκόλυνση των υπολογισμών θεωρήστε : $\varepsilon : y=0$ και : A(1,3) , B(7,5)

.

#2

Καλημέρα σε όλους. Για το 1ο ερώτημα (δίχως συντεταγμένες), αλλά με αλγεβρικές μεθόδους. Χρονολογικά o Fermat έστειλε την επιστολή με τις μεθόδους για μέγιστα και ελάχιστα στον Descartes τον Δεκέμβριο του 1637, άρα τις μεθόδους αυτές τις θεωρώ προγενέστερες των Καρτεσιανών τεχνικών, άρα είμαι σύννομος (περίπτωση σπανιοτάτη) με τις προδιαγραφές του θεματοδότη. Στο 2ο ερώτημα καταφεύγω σε παραγώγους.

: 9-05-2021 Γεωμετρία.jpg (20.48 KiB) Προβλήθηκε 818 φορές

Για το 1ο:
$\displaystyle A{S^2} = 9 + {x^2},\;\;B{S^2} = 25 + {\left( {6 - x} \right)^2},\;\;0 \le x \le 6$

Είναι $\displaystyle A{S^2} + B{S^2} = 34 + {x^2} + {\left( {6 - x} \right)^2}$

Είναι x + 6-x= 6

, σταθερό, οπότε η παράσταση $\displaystyle {x^2} + {\left( {6 - x} \right)^2}$ παρουσιάζει ελάχιστο όταν $\displaystyle x = 6 - x \Leftrightarrow x = 3$ .

Τότε $\displaystyle A{S^2} + B{S^2}_{\max } = 52$ .

Γενική περίπτωση: $\displaystyle CD = \left| {k - m} \right| = l,\;AC = a,\;BD = b$
$\displaystyle A{S^2} = a + {x^2},\;\;B{S^2} = b + {\left( {l - x} \right)^2},\;\;0 \le x \le l$

Είναι $\displaystyle A{S^2} + B{S^2} = {a^2} + {b^2} + {x^2} + {\left( {l - x} \right)^2}$

Είναι x + l-x= l

, σταθερό, οπότε η παράσταση $\displaystyle {x^2} + {\left( {l - x} \right)^2}$ παρουσιάζει ελάχιστο όταν $\displaystyle x = l - x \Leftrightarrow x = \frac{l}{2}$ .

Τότε $\displaystyle A{S^2} + B{S^2}_{\max } = {a^2} + {b^2} + 2{l^2}$ .

Για το 2ο:
$\displaystyle A{S^2} = 9 + {x^2},\;\;B{S^2} = 25 + {\left( {6 - x} \right)^2},\;\;0 \le x \le 6$

Είναι $\displaystyle AS \cdot BS = \sqrt {\left( {9 + {x^2}} \right)\left( {25 + {{\left( {6 - x} \right)}^2}} \right)}$

Η $\displaystyle f:\left[ {0,6} \right] \to R,\;\;f\left( x \right) = {x^4} - 12{x^3} + 70{x^2} - 108x + 549$ έχει παράγωγο $\displaystyle f'\left( x \right) = 4{x^3} - 96{x^2} + 140x - 108$

Με σχ. Horner εύκολα βρίσκουμε ρίζα x = 1

και με πίνακα προσήμου ότι η $\displaystyle f$ έχει ελάχιστο το 500

, άρα $\displaystyle AS \cdot B{S_{\min }} = \sqrt {500}$

Γενική περίπτωση: $\displaystyle CD = \left| {k - m} \right| = l,\;AC = a,\;BD = b$
$\displaystyle AS \cdot BS = \sqrt {\left( {a + {x^2}} \right)\left( {b + {{\left( {l - x} \right)}^2}} \right)}$

Η $\displaystyle f:\left[ {0,l} \right] \to R,\;\;f\left( x \right) = {x^4} - 2l{x^3} + \left( {a + b + l} \right){x^2} - 2alx + a\left( {b + {l^2}} \right)$
έχει παράγωγο $\displaystyle f'\left( x \right) = 4{x^3} - 6l{x^2} + 2\left( {a + b + l} \right)x - 2al$ (και μετά έρχεται το λογισμικό...)

Αναρωτιέμαι, αν η παράσταση $\displaystyle \sqrt {\left( {{3^2} + {x^2}} \right)\left( {{{\left( {6 - x} \right)}^2} + {5^2}} \right)}$ μπορεί να προσαρμοστεί ώστε να εφαρμόσουμε ανισότητα C-B-S.

#3

Συνεχίζω με άλλες προσεγγίσεις:

Μια αμιγώς γεωμετρική

Στο τρίγωνο SAB

είναι $\displaystyle S{A^2} + S{B^2} = 2S{M^2} + \frac{{A{B^2}}}{2}$ .

Επειδή

σταθερό, θα έχουμε ελάχιστο όταν $\displaystyle SM \bot x'x$ , δηλαδή όταν $\displaystyle S\left( {\frac{{a + b}}{2},0} \right)$

: 09-05-2021 Γεωμετρία.png (32.7 KiB) Προβλήθηκε 778 φορές

Kαι μια με συντεταγμένες:

Έστω S(x, 0)

, οπότε $\displaystyle S{A^2} + S{B^2} = {\left( {x - a} \right)^2} + {k^2} + {\left( {x - b} \right)^2} + {m^2}$

$\displaystyle = 2{x^2} - 2\left( {a + b} \right)x + {a^2} + {b^2} + {k^2} + {m^2}$ ,
που παρουσιάζει ελάχιστο στην κορυφή της παραβολής, με τετμημένη $\displaystyle x = \frac{{a + b}}{2}$ κ.ο.κ.

Προ και μετά Descartes

Προ και μετά Descartes

Re: Προ και μετά Descartes

Re: Προ και μετά Descartes

Μέλη σε σύνδεση