Τριχοτόμηση με υπολογιστή

KARKAR · #1

: Τριχοτόμηση με υπολογιστή.png (17.46 KiB) Προβλήθηκε 656 φορές

Από το κέντρο κύκλου (O,r)

, φέρουμε κάθετο τμήμα

προς μια εξωτερική του ευθεία . Έστω

ένα

άλλο σημείο της ευθείας και ας ονομάσουμε Q , S

τα σημεία στα οποία οι OP , OT

τέμνουν τον κύκλο .

Η

τέμνει την ευθεία στο σημείο

. α) Δείξτε ότι : $\widehat{SAP}=\dfrac{\widehat{POT}}{2}$

β) Αν : OS=2

και

, βρείτε την θέση του

, για την οποία : $\phi=\dfrac{\theta}{2}$ .

Σημείωση : Το πρόβλημα θα θεωρηθεί λυμένο , ακόμη και αν για την τελική εξίσωση απαιτηθεί λογισμικό .

#2

KARKAR έγραψε: Πέμ Φεβ 03, 2022 1:10 pm Τριχοτόμηση με υπολογιστή.pngΑπό το κέντρο κύκλου , φέρουμε κάθετο τμήμα προς μια εξωτερική του ευθεία . Έστω ένα

άλλο σημείο της ευθείας και ας ονομάσουμε τα σημεία στα οποία οι τέμνουν τον κύκλο .

Η τέμνει την ευθεία στο σημείο . α) Δείξτε ότι : $\widehat{SAP}=\dfrac{\widehat{POT}}{2}$

β) Αν : και , βρείτε την θέση του , για την οποία : $\phi=\dfrac{\theta}{2}$ .

Σημείωση : Το πρόβλημα θα θεωρηθεί λυμένο , ακόμη και αν για την τελική εξίσωση απαιτηθεί λογισμικό .

: Τριχοτόμηση από υπολογιστή.png (16.19 KiB) Προβλήθηκε 613 φορές

α) $\displaystyle O\widehat QS = O\widehat SQ = T\widehat SA \Leftrightarrow 90^\circ - \frac{{P\widehat OT}}{2} = 90^\circ - S\widehat AP \Leftrightarrow$ $\boxed{S\widehat AP = \frac{{P\widehat OT}}{2}}$

β) Θέτω AT=x.

Αρκεί να υπολογίσω το

Στη συνέχεια ο εντοπισμός του

είναι απλός.

$\displaystyle \tan \frac{\theta }{2} = \tan \left( {\theta + \varphi - \theta } \right) = \dfrac{{\dfrac{5}{x} - \dfrac{3}{x}}}{{1 + \dfrac{{15}}{{{x^2}}}}} \Leftrightarrow \tan \dfrac{\theta }{2} = \dfrac{{2{x}}}{{{x^2} + 15}}$

$\displaystyle \tan \frac{{3\theta }}{2} = \frac{{3\tan \dfrac{\theta }{2} - {{\tan }^3}\dfrac{\theta }{2}}}{{1 - 3{{\tan }^2}\dfrac{\theta }{2}}} \Leftrightarrow \dfrac{5}{x} = \dfrac{{\dfrac{{6x}}{{{x^2} + 15}} - \dfrac{{8{x^3}}}{{{{({x^2} + 15)}^3}}}}}{{1 - \dfrac{{12{x^2}}}{{{{({x^2} + 15)}^2}}}}} = \dfrac{{6x{{({x^2} + 15)}^2} - 8{x^3}}}{{({x^2} + 15)({x^4} + 18{x^2} + 225)}}$

Εκτελώντας τις πράξεις προκύπτει $\displaystyle ({x^2} + 25)({x^4} - 18{x^2} - 675) = 0,$ απ' όπου $\boxed{ x = \sqrt {9 + 6\sqrt {21} }}$

#3

KARKAR έγραψε: Πέμ Φεβ 03, 2022 1:10 pm Από το κέντρο κύκλου , φέρουμε κάθετο τμήμα προς μια εξωτερική του ευθεία . Έστω ένα

άλλο σημείο της ευθείας και ας ονομάσουμε τα σημεία στα οποία οι τέμνουν τον κύκλο .

Η τέμνει την ευθεία στο σημείο . α) Δείξτε ότι : $\widehat{SAP}=\dfrac{\widehat{POT}}{2}$

β) Αν : και , βρείτε την θέση του , για την οποία : $\phi=\dfrac{\theta}{2}$ .

Σημείωση : Το πρόβλημα θα θεωρηθεί λυμένο , ακόμη και αν για την τελική εξίσωση απαιτηθεί λογισμικό .

Καλησπέρα...

Μια άλλη ιδέα...

Εργαζόμαστε στο ακόλουθο σχήμα:

: Τριχοτόμηση με υπολογιστή 1.png (25.17 KiB) Προβλήθηκε 586 φορές

α) Από το εγγράψιμο τετράπλευρο $\displaystyle{OATB}$ προκύπτει η ζητούμενη σχέση.
Δηλαδή η

$\displaystyle{\widehat{SAP}=\frac{\widehat{POT}}{2} \ \ (1)}$

b) Από το τρίγωνο $\displaystyle{OMS}$ και με δεδομένο ότι είναι $\displaystyle{\phi =\frac{\theta}{2} \ \ (2) }$ , εφαρμόζοντας το
νόμο των ημιτόνων έχουμε:

$\displaystyle{\frac{OS}{SM}=\frac{sin\phi}{sin\theta} \ \ (3)}$

Ακόμα από το τρίγωνο $\displaystyle{STM}$ προκύπτει:

$\displaystyle{SM=\frac{3}{cos(\omega)} \Rightarrow SM=\frac{3}{cos(3\phi)} \ \ (4)}$

Η σχέση (3) μαζί με την (2) και (4) και μετά πράξεις δίνει την ακόλουθη εξίσωση:

$\displaystyle{16cos^4\phi -12cos^2\phi-3=0 \ \ (5)}$

Αυτή είναι μιαι διτετράγωνη εξίσωση που λύνεται αλγεβρικά και επειδή ο θεματοδότης

επιτρέπει τη χρήση λογισμικού, η θετική της λύση είναι:

$\displaystyle{cos\phi =\frac{\sqrt{2(\sqrt{21}+3)}}{4} \ \ (6)}$

Από την (6) και με χρήση λογισμικού βρίσκουμε ότι:

$\displaystyle{ \phi =arccos(\frac{\sqrt{2(\sqrt{21}+3}}{4})= 13.2044...^o \ \ (7)}$

Από την (7) υπολογίζουμε εύκολα τα μεγέθη $\displaystyle{PT, TN}$ και διάφορα άλλα...

Κώστας Δόρτσιος

ΥΓ. Ο συνειρμός μου από το τίτλο "τριχοτόμηση με υπολογιστή" με οδήγησε στη δουλειά
του Αποστόλη Μπαρτζόπουλου! Τί θα λέγατε;

Τριχοτόμηση με υπολογιστή

Τριχοτόμηση με υπολογιστή

Re: Τριχοτόμηση με υπολογιστή

Re: Τριχοτόμηση με υπολογιστή

Μέλη σε σύνδεση