Διχοτόμηση εμβαδού

KARKAR · #1

: Διχοτόμηση εμβαδού.png (9.77 KiB) Προβλήθηκε 1249 φορές

Το τρίγωνο ABC

έχει οξείες τις γωνίες $\hat{B} , \hat{C}$ και είναι : AB<AC

. Κατασκευάστε

κάθετο προς την βάση

, τμήμα

, το οποίο να διχοτομεί το εμβαδόν του τριγώνου .

Πλην μόνο των κανόνα και διαβήτη , μπορείτε και με χρήση άλλων εργαλείων ή μεθόδων .

#2

KARKAR έγραψε: Παρ Φεβ 04, 2022 12:31 pm Διχοτόμηση εμβαδού.pngΤο τρίγωνο έχει οξείες τις γωνίες $\hat{B} , \hat{C}$ και είναι : . Κατασκευάστε

κάθετο προς την βάση , τμήμα , το οποίο να διχοτομεί το εμβαδόν του τριγώνου .

Πλην μόνο των κανόνα και διαβήτη , μπορείτε και με χρήση άλλων εργαλείων ή μεθόδων .

Θα κάνουμε την κατασκευή (με κανόνα και διαβήτη φυσικά αφού γεωμετρία είναι και όχι τσελεμεντές

) και θα αφήσω στον αναγνώστη την απόδειξη και αν ζητούνται διευκρινήσεις θα δώσω αργότερα

: Διχοτόμηση εμβαδού.png (33.3 KiB) Προβλήθηκε 1230 φορές

Έστω

το ίχνος της καθέτου από το

στην

(εσωτερικό της

λόγω των οξειών γωνιών B,C

. Στην προέκταση της

προς το

θεωρούμε σημείο

ώστε:

και ας είναι

το σημείο τομής του ημικυκλίου διαμέτρου

με την

και

το ένα (εκ των δύο) σημείων τομής της εκ του

καθέτου στην

με τον κύκλο $\left( Q,QK \right)$ . Ο κύκλος $\left( C,\dfrac{KL}{2} \right)$ τέμνει την

στο σημείο

και το ζητούμενο τμήμα

είναι το τμήμα με άκρα το

και το σημείο τομής

της καθέτου επί την

στο σημείο

με την πλευρά

(αφού

υπάρχει το

)

#3

KARKAR έγραψε: Παρ Φεβ 04, 2022 12:31 pm Το τρίγωνο έχει οξείες τις γωνίες $\hat{B} , \hat{C}$ και είναι : . Κατασκευάστε

κάθετο προς την βάση , τμήμα , το οποίο να διχοτομεί το εμβαδόν του τριγώνου .

Πλην μόνο των κανόνα και διαβήτη , μπορείτε και με χρήση άλλων εργαλείων ή μεθόδων .

Στάθη καλημέρα ....

Αναρτώ κι εγώ ένα σχήμα με την κατασκευή αυτή χωρίς λόγια προς το παρόν,
έτσι για μια εισαγωγή. Πιστεύω ότι η ιδέα είνα αυτή που κι εσύ χρησιμοποιίησες.
Ίσως όμως ο Θανάσης να εννοεί και κάτι άλλο πιο έξυπνο.Θα φανεί.

: Διχοτόμηση τριγώνου 1.png (23.75 KiB) Προβλήθηκε 1201 φορές

Κώστας Δόρτσιος

#4

KARKAR έγραψε: Παρ Φεβ 04, 2022 12:31 pm Διχοτόμηση εμβαδού.pngΤο τρίγωνο έχει οξείες τις γωνίες $\hat{B} , \hat{C}$ και είναι : . Κατασκευάστε

κάθετο προς την βάση , τμήμα , το οποίο να διχοτομεί το εμβαδόν του τριγώνου .

Πλην μόνο των κανόνα και διαβήτη , μπορείτε και με χρήση άλλων εργαλείων ή μεθόδων .

Με τους συνήθεις συμβολισμούς των μέτρων των πλευρών του $\vartriangle ABC$

Το $\boxed{TC = \frac{1}{2}\sqrt {{a^2} + {b^2} - {c^2}} }$

υπολογίζεται και κατασκευάζεται γεωμετρικά κι αφού $ST \bot BC$ η διχοτόμηση επιτυγχάνεται εύκολα.

Ας είναι

το ύψος του $\vartriangle ABC$ . Θέτω: $CT = x\,\,,ST = y,\,\,\,AD = h\,,\,DC = d\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\left( {ABC} \right) = E$

: Διχοτόμηση εμβαδού_Ανάλυση κατασκευή.png (26.35 KiB) Προβλήθηκε 1162 φορές

Επειδή προφανώς: $\left\{ \begin{gathered} xy = E \hfill \\ \frac{y}{h} = \frac{x}{d} \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow \boxed{{x^2} = \frac{{Ed}}{h} = \frac{{ad}}{2}}\,\,\left( 1 \right)$ Αλλά από Θ. απέναντι οξείας

${c^2} = {a^2} + {b^2} - 2ad$ και η $\left( 1 \right)$ δίδει : $\boxed{x = \frac{1}{2}\sqrt {{a^2} + {b^2} - {c^2}} }$

#5

KARKAR έγραψε: Παρ Φεβ 04, 2022 12:31 pm Διχοτόμηση εμβαδού.pngΤο τρίγωνο έχει οξείες τις γωνίες $\hat{B} , \hat{C}$ και είναι : . Κατασκευάστε

κάθετο προς την βάση , τμήμα , το οποίο να διχοτομεί το εμβαδόν του τριγώνου .

Πλην μόνο των κανόνα και διαβήτη , μπορείτε και με χρήση άλλων εργαλείων ή μεθόδων .

Αν

το ύψος από το

, έχουμε

$\displaystyle{\dfrac {TC^2}{CD^2}= \dfrac {(STC)}{(ADC)}=\dfrac {\frac {1}{2} (ABC)}{\frac {1}{2} h\cdot CD}}=\dfrac {\frac {1}{4} ah}{\frac {1}{2} h\cdot CD}}= \dfrac {a}{2CD}}$

Άρα $TC^2= \frac {1}{2} a\cdot CD$ , οπότε το

κατασκευάζεται εύκολα ως μέση ανάλογος δύο γνωστών τμημάτων. (Για την ιστορία, η κατασκευή ήταν γνωστή στους Πυθαγορείους, από εκεί στα Στοιχεία του Ευκλείδη και από εκεί επαναλαμβάνεται σε όλες τις Γεωμετρίες.)

#6

Mihalis_Lambrou έγραψε: Σάβ Φεβ 05, 2022 9:47 am
KARKAR έγραψε: Παρ Φεβ 04, 2022 12:31 pm Διχοτόμηση εμβαδού.pngΤο τρίγωνο έχει οξείες τις γωνίες $\hat{B} , \hat{C}$ και είναι : . Κατασκευάστε

κάθετο προς την βάση , τμήμα , το οποίο να διχοτομεί το εμβαδόν του τριγώνου .

Πλην μόνο των κανόνα και διαβήτη , μπορείτε και με χρήση άλλων εργαλείων ή μεθόδων .
Αν το ύψος από το , έχουμε

$\displaystyle{\dfrac {TC^2}{CD^2}= \dfrac {(STC)}{(ADC)}=\dfrac {\frac {1}{2} (ABC)}{\frac {1}{2} h\cdot CD}}=\dfrac {\frac {1}{4} ah}{\frac {1}{2} h\cdot CD}}= \dfrac {a}{2CD}}$

Άρα $TC^2= \frac {1}{2} a\cdot CD$ , οπότε το κατασκευάζεται εύκολα ως μέση ανάλογος δύο γνωστών τμημάτων. (Για την ιστορία, η κατασκευή ήταν γνωστή στους Πυθαγορείους, από εκεί στα Στοιχεία του Ευκλείδη και από εκεί επαναλαμβάνεται σε όλες τις Γεωμετρίες.)

Καλημέρα...

Μιχάλη αυτόν ακριβώς τον τύπο χρησιμοποίησα για την κατασκευή που ανάρτησα
ανωτέρω με σχήμα και χωρίς λόγια. Νομίζω παρατηρώντας το σχήμα αυτό εύκολα
γίνεται αντιληπτό ότι έγινε η χρήση του τύπου αυτού.

Κώστας Δόρτσιος

KARKAR · #7

: Διχοτόμηση εμβαδού.png (14.09 KiB) Προβλήθηκε 1121 φορές

Παραλλαγή : Η μεσοκάθετος της

τέμνει την

στο

. Η κάθετη της

στο

, τέμνει το ημικύκλιο διαμέτρου

στο σημείο

. Ο κύκλος : (C , CL)

τέμνει την

στο ζητούμενο σημείο

. Δείξτε το !

#8

Καλησπέρα σε όλους. Δίνω μια "αιρετική",(εγώ θα την έλεγα "υβριδική"), αλλά σε καμία περίπτωση τσελεμεντέδικη απάντηση στο αρχικό ερώτημα.
Χρησιμοποιώ μόνον κανόνα και διαβήτη.

(Μόλις τώρα είδα την επέκταση του Θανάση. Ελπίζω να μην την αποκρύψω με αυτήν την ανάρτηση.

: Διχοτόμηση εμβαδού.png (9.77 KiB) Προβλήθηκε 1089 φορές

Έστω

και

.

Είναι $\displaystyle \left( {ABC} \right) = \frac{b}{2}$

Έστω T(t, 0), 0<t<1

.

Η κάθετη στη

στο

τέμνει την $\displaystyle AC:y = \frac{b}{{1 - a}}\left( {1 - x} \right)$ στο $\displaystyle S\left( {t,\;\frac{{b\left( {1 - t} \right)}}{{1 - a}}} \right)$ , οπότε $\displaystyle \left( {STC} \right) = \frac{{b{{\left( {1 - t} \right)}^2}}}{{2\left( {1 - a} \right)}}$ .

Η συνθήκη $\displaystyle \left( {STC} \right) = \frac{{\left( {ABC} \right)}}{2}$ γράφεται $\displaystyle \frac{{b{{\left( {1 - t} \right)}^2}}}{{2\left( {1 - a} \right)}} = \frac{b}{4} \Leftrightarrow 2{t^2} - 4t + 1 + a = 0$
οπότε $\displaystyle {t_{1,2}} = \frac{{2 \pm \sqrt {2 - 2a} }}{2}$ , εκ των οποίων δεκτή είναι η $\displaystyle {t_1} = \frac{{2 - \sqrt {2 - 2a} }}{2}$ .

Ανάλυση:
Δεν κάνω ανάλυση της κατασκευής. Τη θεωρώ τετριμμένη και απλή.

Κατασκευή:

H κατασκευή του τμήματος 2-2a

είναι τετριμμένη.

Για την κατασκευή του $\displaystyle \sqrt {2 - 2a}$ παίρνουμε σε ευθεία τα διαδοχικά τμήματα KL = 2-2a, LM = 1

.

Φέρνουμε κάθετη στην

στο

, που τέμνει το ημικύκλιο διαμέτρου

στο

, οπότε

είναι το ζητούμενο τμήμα.
Κατόπιν το αφαιρούμε από το

και το διαιρούμε δια

. Προσδιορίσαμε, έτσι, το t_1

, άρα η κατασκευή ολοκληρώθηκε.

Απόδειξη

Από τη μετρική σχέση $LN^2=KL \cdot LM$ στο ορθογώνιο τρίγωνο KNM

, προκύπτει άμεσα ότι το κατασκευασθέν τμήμα

είναι το ζητούμενο. Τα άλλα είναι προφανή.

Διερεύνηση:

Αφού πήραμε 0<a<0,5

είναι

και επίσης 0<t_1<0,5

, άρα το πρόβλημα έχει πάντα λύση. Η τιμή του

δεν επηρεάζει τη θέση του

.

ΕΧΤΡΑ: Δείτε και το αρχείο Geogebra που περιγράφει δυναμικά την κατασκευή.

KARKAR · #9

Γράφω και την απόδειξη :

: Διχοτόμηση εμβαδού.png (16.73 KiB) Προβλήθηκε 1058 φορές

Είναι : $CL^2=CN\cdot CA\Leftrightarrow CS^2=b\cdot CN\Leftrightarrow\dfrac{CN}{CS}=\dfrac{CS}{b}$ (1) .

Επίσης : $\dfrac{CN}{CS}=\dfrac{CM}{CT}=\dfrac{a}{2CT}$ (2) , συνεπώς : $\dfrac{ab}{2}=CS\cdot CN$

Τελικά : $\dfrac{(CST)}{(ABC)}=\dfrac{CS\cdot CN}{ab}=\dfrac{1}{2}$ .

Διχοτόμηση εμβαδού

Διχοτόμηση εμβαδού

Re: Διχοτόμηση εμβαδού

Re: Διχοτόμηση εμβαδού

Re: Διχοτόμηση εμβαδού

Re: Διχοτόμηση εμβαδού

Re: Διχοτόμηση εμβαδού

Re: Διχοτόμηση εμβαδού

Re: Διχοτόμηση εμβαδού

Re: Διχοτόμηση εμβαδού

Μέλη σε σύνδεση