Ποτέ αρνητική

KARKAR · #1

Βρείτε την μέγιστη δυνατή τιμή του πραγματικού αριθμού

, για την οποία η συνάρτηση :

$f(x)=x^3+\dfrac{1}{x^3}-m(x+\dfrac{1}{x})+2(m-1) , x>0$ , δεν παίρνει αρνητικές τιμές .

abgd · #2

KARKAR έγραψε: Δευ Μαρ 07, 2022 10:39 am Βρείτε την μέγιστη δυνατή τιμή του πραγματικού αριθμού , για την οποία η συνάρτηση :

$f(x)=x^3+\dfrac{1}{x^3}-m(x+\dfrac{1}{x})+2(m-1) , x>0$ , δεν παίρνει αρνητικές τιμές .

Θέτουμε $x+\frac{1}{x}=t$ , οπότε $t\geq2, \ \ \forall x>0$ και η συνάρτηση γίνεται ίση με την

$f(t)=t^3-(m+3)t+2(m-1), t\geq 2$

Παρατηρούμε ότι f(2)=0

και συνεπώς απαιτούμε το ελάχιστο της

να είναι το f(2)

.

Είναι $f^{\prime}(t)=3t^2-(m+3), \ \ t\geq 2$

Αν το $m\leq-3$ τότε η παράγωγος της είναι μη αρνητική , οπότε η είναι γνησίως αύξουσα και συνεπώς έχει ελάχιστο το

Αν το

τότε $f^{\prime}(t)=3\left(t-\sqrt{\frac{m+3}{3}}\right)\left(t+\sqrt{\frac{m+3}{3}}\right), \ \ t\geq 2$

Αν το $\sqrt{\frac{m+3}{3}}>2 \Leftrightarrow m>9$ τότε το ελάχιστο της συνάρτησης

θα είναι το $f\left(\sqrt{\frac{m+3}{3}}\right)<f(2)$ και έτσι η συνάρτηση θα παίρνει αρνητικές τιμές.

Αν το $\sqrt{\frac{m+3}{3}}\leq 2 \Leftrightarrow -3<m \leq 9$ τότε το ελάχιστο της συνάρτησης

θα είναι το και η συνάρτηση θα παίρνει μη αρνητικές τιμές.

Τελικά, η μεγαλύτερη τιμή του

για την οποία η συνάρτηση

δεν έχει αρνητικές τιμές είναι το

abgd · #3

Χωρίς τη χρήση της παραγώγου....
.......

$f(t)=t^3-(m+3)t+2(m-1), t\geq 2$

Παρατηρούμε ότι f(2)=0

Είναι $f(t)=(t-2)(t^2+2t-m+1), t\geq 2$

Θέλουμε $f(t)\geq 0 \ \ \forall t \geq 2$ , οπότε θα πρέπει $t^2+2t-m+1 \geq 0 , \forall t \geq 2 \ \ \bf(1)$

Η διακρίνουσα του τριωνύμου είναι

και έτσι: