Διαφορά και ύψος

KARKAR · #1

: Διαφορά και ύψος.png (7.87 KiB) Προβλήθηκε 564 φορές

Το σημείο

, χωρίζει το τμήμα

σε δύο τμήματα BD=m

και

με ακέραια μήκη .

Στο

, φέρουμε κάθετη προς το

, επί της οποίας κινείται σημείο

.

α) Δείξτε - με δύο τουλάχιστον τρόπους - ότι η διαφορά AC-AB

φθίνει , καθώς το

απομακρύνεται από το

.

β) Εξετάστε αν αληθεύει ο ισχυρισμός ότι πάντα υπάρχει θέση του

, για την οποία τα τμήματα AC , AB

, έχουν

ταυτόχρονα ακέραια μήκη ( και φυσικά ακέραια διαφορά ) .

γ) Αν : m=2 , n=5

, υπολογίστε το

, ώστε :

.

Μιχάλης Τσουρακάκης · #2

KARKAR έγραψε: Σάβ Ιούλ 02, 2022 11:01 am Διαφορά και ύψος.pngΤο σημείο , χωρίζει το τμήμα σε δύο τμήματα και με ακέραια μήκη .

Στο , φέρουμε κάθετη προς το , επί της οποίας κινείται σημείο .

α) Δείξτε - με δύο τουλάχιστον τρόπους - ότι η διαφορά φθίνει , καθώς το απομακρύνεται από το .

β) Εξετάστε αν αληθεύει ο ισχυρισμός ότι πάντα υπάρχει θέση του , για την οποία τα τμήματα , έχουν

ταυτόχρονα ακέραια μήκη ( και φυσικά ακέραια διαφορά ) .

γ) Αν : , υπολογίστε το , ώστε : .

a)Με

,είναι $AC= \sqrt{x^2+n^2}$ και $AB= \sqrt{x^2+m^2}$ οπότε

$AC-AB=f(x)= \sqrt{x^2+n^2} - \sqrt{x^2+m^2}$

με $f(x) \rightarrow 0$ όταν $x\rightarrow + \propto$

b) είναι $f'(x)=x \dfrac{ \sqrt{x^2+m^2}- \sqrt{x^2+n^2} }{ \sqrt{(x^2+m^2)(x^2+n^2)} } <0$

άρα η f είναι γνήσια φθίνουσα στο $\Delta =(0,+ \propto )$ με σύνολο τιμών $f( \Delta )=(0,n-m)$

Προφανώς λοιπόν ο ισχυρισμός είναι ψευδής αφού αν επιλέξουμε f(x)=c

με

ακέραιο

μεγαλύτερο του n-m

τότε η εξίσωση f(x)=c

είναι αδύνατη

c) Για n=5,m=2

είναι $f(x)=\sqrt{x^2+25}- \sqrt{x^2+4}=2 \Leftrightarrow .....x= \dfrac{15}{4}$

: διαφορά και ύψος.png (7.68 KiB) Προβλήθηκε 524 φορές

Διαφορά και ύψος

Διαφορά και ύψος

Re: Διαφορά και ύψος

Μέλη σε σύνδεση