Εξωφρενική ισότητα

KARKAR · #1

: Εξωφρενική ισότητα.png (22.73 KiB) Προβλήθηκε 712 φορές

Τα δύο ομόκεντρα ημικύκλια , έχουν διαμέτρους AB=2R

και

. Σχεδιάζουμε

τέμνουσα AST

των δύο τόξων , με τα σημεία S , T

πλησιέστερα προς τα D , B

αντίστοιχα .

α) Δείξτε ότι : $\widehat{SOT}=2\widehat{ASC}=2\theta$ .

β) Αν : R=5 , r=3

και :

, υπολογίστε το $\sin\theta$ .

Henri van Aubel · #2

Για το πρώτο.

Είναι $\angle SOD=\angle SOT+\angle TOB=\angle SOT+2\angle SAC$

Ακόμα $\angle OSD=\angle SDO=90^\circ-\angle SCD=90^\circ-\angle SAC-\angle ASC$

Οπότε έχουμε $\angle OSD+\angle DSO+\angle SOD=180^\circ-2\angle ASC+\angle SOT=180^\circ$

Δηλαδή $\angle SOT=2\angle ASC$

Done!!

Θα επανέλθω μετά και για το δεύτερο, αν δεν δω παρόμοια λύση με τη δική μου.

#3

KARKAR έγραψε: ↑
Πέμ Φεβ 02, 2023 12:28 pm
Εξωφρενική ισότητα.png Τα δύο ομόκεντρα ημικύκλια , έχουν διαμέτρους και . Σχεδιάζουμε

τέμνουσα των δύο τόξων , με τα σημεία πλησιέστερα προς τα αντίστοιχα .

α) Δείξτε ότι : $\widehat{SOT}=2\widehat{ASC}=2\theta$ .

β) Αν : και : , υπολογίστε το $\sin\theta$ .

α) Με τους συμβολισμούς του σχήματος: $\displaystyle \left\{ \begin{gathered} \varphi = \omega + \theta \hfill \\ \theta + \varphi = \omega + S\widehat OT \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow \theta + \omega + \theta = \omega + S\widehat OT \Leftrightarrow$ $\boxed{S\widehat OT=2\theta}$

: Εξωφρενική.Κ.png (27.23 KiB) Προβλήθηκε 636 φορές

β) Έστω

η προβολή του

στη διάμετρο και SK=x.

$\displaystyle (TSO) = (SAC) \Leftrightarrow \frac{1}{2}3 \cdot 5\sin 2\theta = x \Leftrightarrow$ $\boxed{\sin 2\theta = \frac{{2x}}{{15}}}$ (1)

$\displaystyle OK = \sqrt {9 - {x^2}} \Rightarrow AK = 5 + \sqrt {9 - {x^2}} ,CK = 3 + \sqrt {9 - {x^2}}$

$\displaystyle \tan \theta = \frac{{\tan \varphi - \tan \omega }}{{1 + \tan \varphi \tan \omega }} = \frac{{\frac{x}{{3 + \sqrt {9 - {x^2}} }} - \frac{x}{{5 + \sqrt {9 - {x^2}} }}}}{{1 + \frac{{{x^2}}}{{(3 + \sqrt {9 - {x^2}} )(5 + \sqrt {9 - {x^2}} )}}}} = ... = \frac{x}{{12 + 4\sqrt {9 - {x^2}} }}$

$\displaystyle \frac{{1 - \cos 2\theta }}{{1 + \cos 2\theta }} = {\left( {\frac{x}{{12 + 4\sqrt {9 - {x^2}} }}} \right)^2},$ όπου $\displaystyle \cos 2\theta = \sqrt {1 - {{\sin }^2}2\theta } \mathop \Leftrightarrow \limits^{(1)} \sqrt {1 - \frac{{4{x^2}}}{{225}}}$

Καταλήγω έτσι στην εξίσωση $\displaystyle \frac{{15 - \sqrt {225 - 4{x^2}} }}{{15 + \sqrt {225 - 4{x^2}} }} = {\left( {\frac{x}{{12 + 4\sqrt {9 - {x^2}} }}} \right)^2},$

απ' όπου παίρνω $\displaystyle x = \frac{{6\sqrt 6 }}{5}\mathop \Leftrightarrow \limits^{(1)} \sin 2\theta = \frac{{4\sqrt 6 }}{{25}} \Leftrightarrow$ $\boxed{\sin \theta=\frac{1}{5}}$

Πιστεύω ότι υπάρχει ευκολότερη λύση για το β). Ίσως ο Κώστας να έχει κάτι καλύτερο.

Μιχάλης Τσουρακάκης · #4

KARKAR έγραψε: ↑
Πέμ Φεβ 02, 2023 12:28 pm
Εξωφρενική ισότητα.png Τα δύο ομόκεντρα ημικύκλια , έχουν διαμέτρους και . Σχεδιάζουμε

τέμνουσα των δύο τόξων , με τα σημεία πλησιέστερα προς τα αντίστοιχα .

α) Δείξτε ότι : $\widehat{SOT}=2\widehat{ASC}=2\theta$ .

β) Αν : και : , υπολογίστε το $\sin\theta$ .

a)Προφανώς $\dfrac{OC}{OA}= \dfrac{OE}{OT}= \dfrac{r}{R} \Rightarrow CE//AT \Rightarrow \angle SCE= \theta \Rightarrow \angle SOE=2 \theta$

b)Το CISE

είναι ισοσκελές τραπέζιο,άρα IC=SE

.Ακόμη,

και $\angle ICO= \angle SEO$

Έτσι τα τρίγωνα TSE,IAC

είναι ίσα ,οπότε (SEO)=(SIC)=(SIE)

άρα

$\dfrac{SE}{IO}= \dfrac{TE}{TO} \Rightarrow \dfrac{SE}{3}= \dfrac{2}{5} \Rightarrow SE=IC= \dfrac{6}{5}$ .Άρα

$sin \theta = \dfrac{IC}{DC}= \dfrac{ \dfrac{6}{5} }{6} = \dfrac{1}{5}$

: εξωφρενική ισότητα.png (27.7 KiB) Προβλήθηκε 593 φορές

#5

Μιχάλης Τσουρακάκης έγραψε: ↑
Παρ Φεβ 03, 2023 11:49 pm

KARKAR έγραψε: ↑
Πέμ Φεβ 02, 2023 12:28 pm
Εξωφρενική ισότητα.png Τα δύο ομόκεντρα ημικύκλια , έχουν διαμέτρους και . Σχεδιάζουμε

τέμνουσα των δύο τόξων , με τα σημεία πλησιέστερα προς τα αντίστοιχα .

α) Δείξτε ότι : $\widehat{SOT}=2\widehat{ASC}=2\theta$ .

β) Αν : και : , υπολογίστε το $\sin\theta$ .
a)Προφανώς $\dfrac{OC}{OA}= \dfrac{OE}{OT}= \dfrac{r}{R} \Rightarrow CE//AT \Rightarrow \angle SCE= \theta \Rightarrow \angle SOE=2 \theta$

b)Το είναι ισοσκελές τραπέζιο,άρα .Ακόμη, και $\angle ICO= \angle SEO$

Έτσι τα τρίγωνα είναι ίσα ,οπότε άρα

$\dfrac{SE}{IO}= \dfrac{TE}{TO} \Rightarrow \dfrac{SE}{3}= \dfrac{2}{5} \Rightarrow SE=IC= \dfrac{6}{5}$ .Άρα

$sin \theta = \dfrac{IC}{DC}= \dfrac{ \dfrac{6}{5} }{6} = \dfrac{1}{5}$

εξωφρενική ισότητα.png

Ωραίο και κομψό Μιχάλη

Εξωφρενική ισότητα

Εξωφρενική ισότητα

Re: Εξωφρενική ισότητα

Re: Εξωφρενική ισότητα

Re: Εξωφρενική ισότητα

Re: Εξωφρενική ισότητα

Μέλη σε σύνδεση