Τριγωνομετρική σχέση μεταξύ γωνιών

Henri van Aubel · #1

Η σωστή εκφώνηση είναι πιο κάτω. Ζητώ χίλια συγγνώμη για την μεγάλη ταλαιπωρία.

Henri van Aubel · #2

Επαναφορά!!

Henri van Aubel · #3

Επαναφορά!!

#4

Henri van Aubel έγραψε: Σάβ Μαρ 18, 2023 7:49 pm Για $\theta ,\omega$ οξείες γωνίες, να αποδείξετε ότι: $\displaystyle \frac{\left ( \tan \theta +\tan \omega \right )\cdot \tan 2\omega }{\tan \theta \cdot \left (\tan \omega \cdot \tan 2\omega +1 \right )}=\frac{\sin \left ( 2\theta +2\omega \right )\cdot \sin ^{2}\theta }{\sin \left ( \theta +\omega \right )\cdot \cos \left ( 2\theta +\omega \right )-\sin ^{2}\theta \cdot \cos \left ( 2\theta +2\omega \right )}$

Καλημέρα. Παρακαλώ ελέγξτε την εκφώνηση ξανά. Π.χ. για $\omega =\frac{\pi}{4}$ δεν ορίζεται η εξίσωση, ενώ για $\omega =\frac{\pi}{3}, \theta =\frac{\pi}{6}$ το 2ο μέλος είναι

, ενώ το 1ο όχι.

Γενικώς για $\omega, \theta$ συμπληρωματικές είναι

το 2ο μέλος, ενώ το 1ο δεν είναι, αφού η εξίσωση $(\tan \theta +\tan \omega \right ))\cdot \tan 2\omega=0$ είναι αδύνατη.

Henri van Aubel · #5

Γιώργος Ρίζος έγραψε: Κυρ Μαρ 26, 2023 11:21 am
Henri van Aubel έγραψε: Σάβ Μαρ 18, 2023 7:49 pm Για $\theta ,\omega$ οξείες γωνίες, να αποδείξετε ότι: $\displaystyle \frac{\left ( \tan \theta +\tan \omega \right )\cdot \tan 2\omega }{\tan \theta \cdot \left (\tan \omega \cdot \tan 2\omega +1 \right )}=\frac{\sin \left ( 2\theta +2\omega \right )\cdot \sin ^{2}\theta }{\sin \left ( \theta +\omega \right )\cdot \cos \left ( 2\theta +\omega \right )-\sin ^{2}\theta \cdot \cos \left ( 2\theta +2\omega \right )}$
Καλημέρα. Παρακαλώ ελέγξτε την εκφώνηση ξανά. Π.χ. για $\omega =\frac{\pi}{4}$ δεν ορίζεται η εξίσωση, ενώ για $\omega =\frac{\pi}{3}, \theta =\frac{\pi}{6}$ το 2ο μέλος είναι , ενώ το 1ο όχι.

Γενικώς για $\omega, \theta$ συμπληρωματικές είναι το 2ο μέλος, ενώ το 1ο δεν είναι, αφού η εξίσωση $(\tan \theta +\tan \omega \right ))\cdot \tan 2\omega=0$ είναι αδύνατη.

Γιώργο, έχεις απόλυτο δίκιο. Παράβλεψή μου να γράψω ότι δεν είναι συμπληρωματικές και ότι η ω διάφορη των 45 μοιρών

. Τώρα μπορούμε να πάμε στη λύση.

Και κάτι άλλο: Να μου μιλάς στον ενικό.

#6

Όταν βλέπω μια πολύπλοκη παράσταση, συνήθως πριν "βουτήξω", δοκιμάζω την ισχύ της με κάποιες βολικές τιμές. Αυτό έκανα κι εδώ.

Κάνω ακόμα μια δοκιμή, τηρώντας τους περιορισμούς (που έτσι κι αλλιώς αδυνατίζουν τη γενική ισχύ της πρότασης)(*).

Με την επιφύλαξη να έχω εγώ κάνει λάθος υπολογισμούς:

Για $\displaystyle \theta = 45^\circ ,\;\;\omega = 30^\circ$ η προς απόδειξη πρόταση (1) γίνεται:

$\displaystyle \frac{{\left( {\tan 45^\circ + \tan 30^\circ } \right)\cdot\tan 60^\circ }}{{\tan 45^\circ \cdot\left( {\tan 30^\circ \cdot\tan 60^\circ + 1} \right)}} = \frac{{\sqrt 3 + 1}}{2}$

$\displaystyle \frac{{\sin \left( {90^\circ + 60^\circ } \right)\cdot{{\sin }^2}45^\circ }}{{\sin 75^\circ \cdot\cos \left( {90^\circ + 30^\circ } \right) - {{\sin }^2}45^\circ \cdot\cos \left( {90^\circ + 60^\circ } \right)}} = \frac{2}{{ - \sqrt 6 - \sqrt 2 + 2\sqrt 3 }}$

$\displaystyle \left( 1 \right) \Leftrightarrow \frac{{\sqrt 3 + 1}}{2} = \frac{2}{{ - \sqrt 6 - \sqrt 2 + 2\sqrt 3 }} \Leftrightarrow - 2\sqrt 2 + \sqrt 3 = 2$ , άτοπον.

(*) Συνήθως μια τριγωνομετρική ισότητα έχει ισχύ για κάθε τιμή των μεταβλητών της για τις οποίες ορίζεται. Και μόνον το γεγονός ότι η συγκεκριμένη δεν ισχύει για συμπληρωματικές γωνίες, αν και ορίζεται γι' αυτές, μάς βάζει σε υποψίες τυπογραφικού λάθους.
Είναι τμήμα κάποιας εργασίας; Υπάρχει κάπου δημοσιευμένη; Υπάρχει δοσμένη λύση;

Henri van Aubel · #7

Ναι, Γιώργο, υπάρχει τυπογραφικό λάθος. Χίλια συγγνώμη για την ταλαιπωρία. Η σωστή είναι αυτή:

Για $\theta ,\omega$ οξείες γωνίες μη συμπληρωματικές, να αποδείξετε ότι $\displaystyle \frac{\tan 2\omega \cdot \left ( \tan \theta +\tan \omega \right )}{\tan \theta \cdot \left ( 1+\tan 2\omega \cdot \tan \omega \right )}=\frac{\sin \omega \cdot \sin \left ( 2\theta +2\omega \right )}{\cos \left ( 2\omega +\theta \right )\cdot \sin \left ( \theta +\omega \right )-\sin \omega \cdot \cos \left ( 2\theta +2\omega \right )}$

Είναι κατασκευή ενός μαθητή μου στο φροντιστήριο και την βρήκα ενδιαφέρουσα, γι αυτό την ανέβασα να μοιραστούμε ιδέες!

#8

Για οξείες γωνίες $\omega, \theta$ με $\displaystyle \omega + \theta \ne \frac{\pi }{2},\omega \ne \frac{\pi }{4}$ και τα δύο μέλη είναι ίσα με $\displaystyle \frac{{2\sin (\theta + \omega )\sin \omega }}{{\sin \theta }}$

Η λύση μου αύριο αν δεν απαντηθεί μέχρι τότε.

Henri van Aubel · #9

george visvikis έγραψε: Κυρ Μαρ 26, 2023 6:51 pm Για οξείες γωνίες $\omega, \theta$ με $\displaystyle \omega + \theta \ne \frac{\pi }{2},\omega \ne \frac{\pi }{4}$ και τα δύο μέλη είναι ίσα με $\displaystyle \frac{{2\sin (\theta + \omega )\sin \omega }}{{\sin \theta }}$

Η λύση μου αύριο αν δεν απαντηθεί μέχρι τότε.

Ακριβώς αυτό! Την ισοπέδωσες. Παρεπιπτόντως, ο μαθητής που την πρότεινε πηγαίνει στην Β Λυκείου.

#10

Για οξείες γωνίες $\omega, \theta$ με $\displaystyle \omega + \theta \ne \frac{\pi }{2},\omega \ne \frac{\pi }{4}$ είναι:

$\displaystyle \frac{\tan 2\omega \cdot \left ( \tan \theta +\tan \omega \right )}{\tan \theta \cdot \left ( 1+\tan 2\omega \cdot \tan \omega \right )}=\frac{\sin \omega \cdot \sin \left ( 2\theta +2\omega \right )}{\cos \left ( 2\omega +\theta \right )\cdot \sin \left ( \theta +\omega \right )-\sin \omega \cdot \cos \left ( 2\theta +2\omega \right )}.$

ΑΠΟΔΕΙΞΗ:

$\displaystyle \bullet$ Ο αριθμητής του α' μέλους γράφεται: $\displaystyle \frac{{\sin 2\omega }}{{\cos 2\omega }} \cdot \frac{{\sin (\theta + \omega )}}{{\cos \theta \cos \omega }} = \frac{{2\sin (\theta + \omega )\sin \omega }}{{\cos \theta \cos 2\omega }}$

Ο παρονομαστής του α' μέλους γράφεται:

$\displaystyle \frac{{\sin \theta }}{{\cos \theta }} \cdot \frac{{\cos 2\omega \cos \omega + \sin 2\omega \sin \omega }}{{\cos 2\omega \cos \omega }} = \frac{{\sin \theta \cos \omega }}{{\cos \theta \cos 2\omega \cos \omega }} = \frac{{\sin \theta }}{{\cos \theta \cos 2\omega }}$

Έτσι, το α' μέλος γίνεται $\boxed{A = \frac{{2\sin (\theta + \omega )\sin \omega }}{{\sin \theta }}}$

$\displaystyle \bullet$ Το β' μέλος γράφεται:

$\displaystyle B = \frac{{4\sin \omega \sin (\theta + \omega )\cos (\theta + \omega )}}{{\sin (2\theta + 3\omega ) - \sin \omega - \sin (2\theta + 3\omega ) + \sin (2\theta + \omega )}} = \frac{{4\sin \omega \sin (\theta + \omega )\cos (\theta + \omega )}}{{\sin (2\theta + \omega ) - \sin \omega }}$

$\displaystyle = \frac{{4\sin \omega \sin (\theta + \omega )\cos (\theta + \omega )}}{{2\sin \theta \cos (\theta + \omega )}} \Leftrightarrow$ $\boxed{B = \frac{{2\sin (\theta + \omega )\sin \omega }}{{\sin \theta }}}$ και το ζητούμενο αποδείχτηκε.

Τριγωνομετρική σχέση μεταξύ γωνιών

Τριγωνομετρική σχέση μεταξύ γωνιών

Re: Τριγωνομετρική σχέση μεταξύ γωνιών

Re: Τριγωνομετρική σχέση μεταξύ γωνιών

Re: Τριγωνομετρική σχέση μεταξύ γωνιών

Re: Τριγωνομετρική σχέση μεταξύ γωνιών

Re: Τριγωνομετρική σχέση μεταξύ γωνιών

Re: Τριγωνομετρική σχέση μεταξύ γωνιών

Re: Τριγωνομετρική σχέση μεταξύ γωνιών

Re: Τριγωνομετρική σχέση μεταξύ γωνιών

Re: Τριγωνομετρική σχέση μεταξύ γωνιών

Μέλη σε σύνδεση