Ορθογώνιο και ισοσκελές τρίγωνο

#1

Καλή Ανάσταση σε όλους!

: Ισοσκελές και ορθογώνιο..png (15.57 KiB) Προβλήθηκε 880 φορές

Στις κάθετες πλευρές AB, AC

ορθογωνίου και ισοσκελούς τριγώνου ABC

θεωρώ τα σημεία E, F

αντίστοιχα ώστε

$\displaystyle B\widehat CE = 30^\circ ,C\widehat BF = 15^\circ.$ Αν οι BF, CE

τέμνονται στο

και οι

στο

να δείξετε ότι $FD\bot BC.$

Henri van Aubel · #2

Γειά σου Γιώργο και καλή ανάσταση!

Έχουμε $\displaystyle \frac{AF}{FC}=\frac{\sin 30}{\sin 15}\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{\sqrt{2}}{4\sin 15}$ και $\displaystyle \frac{BE}{EA}=\frac{\sin 30}{\sin 15}\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{\sqrt{2}}{4\sin 15}$

Από το θεώρημα του Ceva έχουμε $\displaystyle \frac{DC}{BD}\cdot \frac{BE}{EA}\cdot \frac{AF}{FC}=1$ και σύμφωνα με τις άλλες δύο θα

προκύψει $\displaystyle \frac{BD}{DC}=\frac{2}{16\sin ^{2}15}=\frac{\sin \angle BFD}{\sin \angle DFC}\cdot \frac{\sin 45}{\sin 15}\left ( \ast \right ).$

Θέτουμε $\angle DFC=\theta ,$ οπότε $\displaystyle \frac{\sin \left ( \theta +60^\circ \right )}{\sin \theta }=\frac{1}{8\sin 15\cdot \sin 45}=\frac{\sin 105}{\sin 45}\left ( \ast \right ).$

Η συνάρτηση $\displaystyle f\left ( \theta \right )=\frac{\sin \left ( \theta +60^\circ \right )}{\sin \theta }$ είναι γνησίως φθίνουσα στο

διάστημα $\displaystyle \left ( 0,\frac{2\pi }{3} \right )$ και επειδή η τιμή $\theta =45^\circ$ ικανοποιεί την σχέση (*), η λύση είναι μοναδική.

Υ.Σ Για τυχόν υπολογιστικά λαθάκια, οι παρατηρήσεις ευπρόσδεκτες, γιατί την έκανα στο πόδι.

Φανης Θεοφανιδης · #3

: 00007.png (22.88 KiB) Προβλήθηκε 843 φορές

Καλησπέρα Γιώργο Καλή Ανάσταση.

Γράφω τον περίκυκλο του τριγώνου BPC

του οποίου το κέντρο ονομάζω

και φέρνω τα κόκκινα τμήματα.
Οι κόκκινες γωνίες προκύπτουν εύκολα.
Από το τετράγωνο ABOC

και από το ισόπλευρο τρίγωνο BPO

έπεται ότι τα
τρίγωνα PBA, COP

είναι ίσα. Οπότε PC=PA

. Άρα $\angle PAC=15^{0}$ .
Επομένως το ABDF

είναι εγγράψιμο. Συνεπώς $\angle CDF=\angle BAF=90^{0}$ .

Αυτές τις καταφέρνω Γιώργο.
Τις άλλες δεν μπορώ.

Μιχάλης Τσουρακάκης · #4

george visvikis έγραψε: Σάβ Απρ 15, 2023 5:24 pm Καλή Ανάσταση σε όλους!

Ισοσκελές και ορθογώνιο..png
Στις κάθετες πλευρές ορθογωνίου και ισοσκελούς τριγώνου θεωρώ τα σημεία αντίστοιχα ώστε

$\displaystyle B\widehat CE = 30^\circ ,C\widehat BF = 15^\circ.$ Αν οι τέμνονται στο και οι στο να δείξετε ότι $FD\bot BC.$

Καλή Ανάσταση..

Επειδή $\angle AFB=45^0 \Rightarrow \angle ASN=30^0 \Rightarrow AS//EC$ και $\angle AFN=60^0$

Άρα το τρίγωνο ANF

είναι ισόπλευρο ,επομένως AF=FS

κι από θ.κ.δέσμης θα είναι EM=MC

άρα $\angle MAC=15^0= \angle PBD \Rightarrow BAPD$ εγγράψιμμο,οπότε $PD\bot BC$

(

είναι το σημείο τομής του περίκυκλου του τριγώνου ABC

με την

)

: Καθετότητα.png (36.49 KiB) Προβλήθηκε 793 φορές

#5

george visvikis έγραψε: Σάβ Απρ 15, 2023 5:24 pm Καλή Ανάσταση σε όλους!

Ισοσκελές και ορθογώνιο..png
Στις κάθετες πλευρές ορθογωνίου και ισοσκελούς τριγώνου θεωρώ τα σημεία αντίστοιχα ώστε

$\displaystyle B\widehat CE = 30^\circ ,C\widehat BF = 15^\circ.$ Αν οι τέμνονται στο και οι στο να δείξετε ότι $FD\bot BC.$

Χριστός Ανέστη και Χρόνια πολλά με υγεία σε όλους .

Ας είναι

το συμμετρικό του

ως προς την υποτείνουσα

και

το σημείο τομής της

με το ημικύκλιο διαμέτρου

.

Το $\vartriangle KPC$ είναι ισοσκελές ορθογώνιο , το $\vartriangle CPZ$ είναι ισόπλευρο κέντρου βάρους

και το τετράπλευρο KPZC

χαρταετός .

: ορθογώνιο και ισοσκελές τρίγωνο_ok.png (60.65 KiB) Προβλήθηκε 743 φορές

Το τετράπλευρο EPZB

είναι εγράψιμο ( $\widehat {ZPC} = 60^\circ = \widehat {ZBA}$ ). Άμεσες συνέπειες :

Το τετράπλευρο AEZC

εγγράψιμο σε κύκλο διαμέτρου

και τετράπλευρο FKCD

εγγράψιμο ( $\widehat {KFC} = \widehat {KDC} = 60^\circ$ )

Τώρα το ζητούμενο φανερό .

Ορθογώνιο και ισοσκελές τρίγωνο

Ορθογώνιο και ισοσκελές τρίγωνο

Re: Ορθογώνιο και ισοσκελές τρίγωνο

Re: Ορθογώνιο και ισοσκελές τρίγωνο

Re: Ορθογώνιο και ισοσκελές τρίγωνο

Re: Ορθογώνιο και ισοσκελές τρίγωνο

Μέλη σε σύνδεση