Λειψή έλλειψη

KARKAR · #1

: Λειψή έλλειψη.png (29.54 KiB) Προβλήθηκε 798 φορές

Οι χορδές AB , AD

του κύκλου x^2+y^2=9

κινούνται , διατηρώντας σταθερές διευθύνσεις όπως φαίνεται

στο σχήμα . Συμπληρώνουμε το παραλληλόγραμμο ABCD

. Ζητείται ο γεωμετρικός τόπος της κορυφής

.

#2

(Στην γενική περίπτωση θεωρούμε σύστημα αξόνων με αρχή το κέντρο του κύκλου και άξονες παράλληλους στις διχοτόμους των γωνιών που ορίζουν οι AD,AB

, οπότε οι AD, AB

θα έχουν αντίθετους συντελεστές διεύθυνσης).

Ας είναι x^2+y^2=r^2

ο κύκλος ,

ο συντελεστής διεύθυνσης της

και

ο συντελεστής διεύθυνσης της

. Έστω, τέλος A(a,b)

.

Η

έχει εξίσωση y=lx-la+b

, οπότε η τετμημένη του

είναι η δεύτερη λύση (πλην της x=a

) της εξίσωσης:

x^2+(lx-la+b)^2=r^2

Εύκολα βρίσκουμε $x_D=\dfrac{l^2a-2lb-a}{1+l^2}$ , και μετά

$y_D=lx_D-la+b=l\dfrac{l^2a-2lb-a}{1+l^2}-la+b=\dfrac{-l^2b-2al+b}{1+l^2}$

Έτσι $\overrightarrow{AD}=\left (\dfrac{l^2a-2lb-a}{1+l^2}-a,\dfrac{-l^2b-2al+b}{1+l^2} -b \right )$

Ομοίως, θέτοντας οπού

το

βρίσκουμε

$\overrightarrow{AB}=\left (\dfrac{l^2a+2lb-a}{1+l^2}-a,\dfrac{-l^2b+2al+b}{1+l^2} -b \right )$

Τότε: $\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}=\left (\dfrac{2l^2a-2a}{1+l^2}-2a,\dfrac{-2l^2b+2b}{1+l^2}-2b \right )$

Άρα, αφού είναι A(a,b)

, έχουμε: $C\left (\dfrac{2l^2a-2a}{1+l^2}-a,\dfrac{-2l^2b+2b}{1+l^2}-b \right )$ ,

δηλαδή, για τις συντεταγμένες του

είναι : $x_C=\dfrac{2l^2a-2a}{1+l^2}-a, y_C=\dfrac{-2l^2b+2b}{1+l^2}-b$

Από εδώ βρίσκουμε:

$a=\dfrac{1+l^2}{l^2-3}x_C, b=\dfrac{1+l^2}{1-3l^2}y_C \,\,\,\,(\bigstar )$

και επειδή a^2+b^2=r^2

θα πάρουμε

$\left (\dfrac{1+l^2}{l^2-3} \right )^2 x^2_C + \left (\dfrac{1+l^2}{1-3l^2} \right )^2y^2_C=r^2$ , έλλειψη.

Η έλλειψη αυτή είναι ο ζητούμενος γεωμετρικός τόπος, αφού, αντιστρόφως, για κάθε σημείο της C(x_C, y_C)

το σημείο

, με

αυτά των σχέσεων $(\bigstar )$ , ανήκει, προφανώς, στο κύκλο x^2+y^2=r^2

και προσδιορίζει το

.

Λειψή έλλειψη

Λειψή έλλειψη

Re: Λειψή έλλειψη

Μέλη σε σύνδεση