Λόγος επαφών

KARKAR · #1

: Λόγος επαφών.png (15.38 KiB) Προβλήθηκε 786 φορές

Από σημείο

που κινείται στο εξωτερικό του κύκλου (O , r )

, σε απόσταση OS =d , d>r

,

φέρουμε τα εφαπτόμενα τμήματα SA , SB

και έστω

το μέσο του

. Η άλλη εφαπτόμενη

από το

προς τον κύκλο , τέμνει το

στο σημείο

.

α) Υπολογίστε τον λόγο : $\dfrac{AT}{TS}$ ... β) Υπολογίστε το μέγιστο του τμήματος

.

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Δευ Δεκ 11, 2023 1:37 pm
Λόγος επαφών.png
Από σημείο που κινείται στο εξωτερικό του κύκλου , σε απόσταση , φέρουμε τα εφαπτόμενα τμήματα και έστω το μέσο του . Η άλλη εφαπτόμενη από το προς τον κύκλο , τέμνει το στο σημείο .
α) Υπολογίστε τον λόγο : $\dfrac{AT}{TS}$ ... β) Υπολογίστε το μέγιστο του τμήματος .

Έστω

το σημείο επαφής της

με τον κύκλο $\left( O \right)$ . Τότε με MB=ML

(εφαπτομενικά τμήματα στον $\left( O \right)$ ) $=\dfrac{BS}{2}\Rightarrow \angle BLS={{90}^{0}}$ και συνεπώς το δεύτερο (εκτός του

) σημείο

τομής της

με τον $\left( O \right)$ είναι το αντιδιαμετρικό του $B\Rightarrow AC\bot AB\overset{AB\bot OS}{\mathop{\Rightarrow }}\,AC\parallel OS\Rightarrow ACPS$ τραπέζιο (όπου

το συμμετρικό του

ως προς το

) και με την μεσοκάθετη στο

της

να είναι και μεσοκάθετη της χορδής (αφού διέρχεται από το κέντρο του κύκλου) $AC\Rightarrow ACPS$ ισοσκελές τραπέζιο , οπότε $\angle CAN=\angle ACN\equiv \angle ACL\overset{\varepsilon \gamma \gamma \varepsilon \gamma \rho \alpha \mu \mu \varepsilon \nu \eta -\upsilon \pi o\,\,\chi o\rho \delta \eta \varsigma \,\,\kappa \alpha \iota \,\,\varepsilon \varphi \alpha \pi \tau o\mu \varepsilon \nu \eta \varsigma }{\mathop{=}}\,\angle LAT=\angle ALT$ και με $\angle CSA=\angle ASL$ προκύπτει ότι τα τρίγωνα $\vartriangle ALS\sim \vartriangle CAS$ (δύο γωνίες ίσες μια προς μία) με ομόλογα τμήματα τα LT,AN

και συνεπώς $\dfrac{AT}{TS}=\dfrac{CN}{NS}\overset{AC\parallel SP}{\mathop{=}}\,\dfrac{AC}{SP}=\dfrac{AC}{2d}:\left( 1 \right)$

: Λόγος επαφών.png (35.89 KiB) Προβλήθηκε 540 φορές

Από την προφανή ομοιότητα των ορθογωνίων τριγώνων $\vartriangle ABC,\vartriangle BSO$ $\left( \angle ABC\overset{o\xi \varepsilon \iota \varepsilon \varsigma \,\,\kappa \alpha \theta \varepsilon \tau \varepsilon \varsigma \,\,\pi \lambda \varepsilon \upsilon \rho \varepsilon \varsigma \,\,\tau o\upsilon \,\,\iota \delta \iota o\upsilon \,\,\pi \rho o\sigma \alpha \nu \alpha \tau o\lambda \iota \sigma \mu o\upsilon }{\mathop{=}}\,\angle BSO,\angle BAC=\angle SBO={{90}^{0}} \right)\Rightarrow$
$\dfrac{AC}{OB}=\dfrac{BC}{OS}\overset{OB=r,BC=2r,OS=d}{\mathop{\Rightarrow }}\,AC=\dfrac{2{{r}^{2}}}{d}\overset{\left( 1 \right)}{\mathop{\Rightarrow }}\,\dfrac{AT}{TS}=\dfrac{{{r}^{2}}}{{{d}^{2}}}$ και το πρώτο ζητούμενο έχει αποδειχθεί.

Από $\dfrac{AT}{TS}=\dfrac{{{r}^{2}}}{{{d}^{2}}}\Rightarrow \dfrac{AT}{TS+AT}=\dfrac{{{r}^{2}}}{{{d}^{2}}+{{r}^{2}}}\Rightarrow \dfrac{AT}{AS}=\dfrac{{{r}^{2}}}{{{r}^{2}}+{{d}^{2}}}\overset{AS=\sqrt{{{d}^{2}}-{{r}^{2}}}(\Pi .\Theta )}{\mathop{\Rightarrow }}\,AT=f\left( d \right)={{r}^{2}}\dfrac{\sqrt{{{d}^{2}}-{{r}^{2}}}}{{{d}^{2}}+{{r}^{2}}}$ Η συνέχεια (για το ακρότατο της $f\left( d \right)$ ) αφήνεται στον αναγνώστη ή σε κάποιο λογισμικό …

KARKAR · #3

Στάθη νάσαι καλά . Το μέγιστο ( με χρήση παραγώγου ) , επιτυγχάνεται

για : $d=r\sqrt{3}$ και ισούται με : $AT_{max}=\dfrac{r\sqrt{2}}{4}$ .

Λόγος επαφών

Λόγος επαφών

Re: Λόγος επαφών

Re: Λόγος επαφών

Μέλη σε σύνδεση