Εορταστική ποικιλία

#1

: Εορταστική ποικιλία.png (10.75 KiB) Προβλήθηκε 801 φορές

Το σημείο επαφής

του εγγεγραμμένου κύκλου με την υποτείνουσα

ορθογωνίου τριγώνου ABC,

ορίζει στην

υποτείνουσα τμήματα BD=x-1

και

Δίνεται ακόμα ότι $AB+AC=2\sqrt{16k(2k+1)+1},$

όπου k, 2k+1

είναι πρώτοι αριθμοί και το υπόρριζο τετραψήφιος. Να υπολογίσετε το εμβαδόν του τριγώνου ABC.

Dimessi · #2

Ως γνωστό $AC-AB=DC-DB\Longrightarrow \boxed{AC-AB=2}\left ( 1 \right ).$ Επίσης $16k\left ( 2k+1 \right )+1\equiv 1\left ( \textup{mod2} \right )$ και αφού είναι τετραψήφιος έπεται ότι $1001\leqslant 16k\left ( 2k+1 \right )+1\leqslant 9999$ από όπου $\displaystyle 6\leqslant k\leqslant 17$ και ο θετικός ακέραιος

είναι πρώτος, άρα $k\in \left \{ 7,11,13,17 \right \}.$ Επειδή και ο 2k+1

είναι πρώτος έχουμε k=11

από όπου $AC+AB=2\sqrt{4049}\overset{\left ( 1 \right )}\Rightarrow AC=1+\sqrt{4049}$ και $AB=\sqrt{4049}-1$ , επομένως $\displaystyle \boxed{\left ( ABC \right )=\frac{AB\cdot AC}{2}=\frac{\left ( \sqrt{4049}-1 \right )\left ( \sqrt{4049} +1\right )}{2}=2024}.$

#3

Dimessi έγραψε: Παρ Δεκ 22, 2023 3:23 pm Ως γνωστό $AC-AB=DC-DB\Longrightarrow \boxed{AC-AB=2}\left ( 1 \right ).$ Επίσης $16k\left ( 2k+1 \right )+1\equiv 1\left ( \textup{mod2} \right )$ και αφού είναι τετραψήφιος έπεται ότι $1001\leqslant 16k\left ( 2k+1 \right )+1\leqslant 9999$ από όπου $\displaystyle 6\leqslant k\leqslant 17$ και ο θετικός ακέραιος είναι πρώτος, άρα $k\in \left \{ 7,11,13,17 \right \}.$ Επειδή και ο είναι πρώτος έχουμε από όπου $AC+AB=2\sqrt{4049}\overset{\left ( 1 \right )}\Rightarrow AC=1+\sqrt{4049}$ και $AB=\sqrt{4049}-1$ , επομένως $\displaystyle \boxed{\left ( ABC \right )=\frac{AB\cdot AC}{2}=\frac{\left ( \sqrt{4049}-1 \right )\left ( \sqrt{4049} +1\right )}{2}=2024}.$

Ωραία αντιμετώπιση

Εορταστική ποικιλία

Εορταστική ποικιλία

Re: Εορταστική ποικιλία

Re: Εορταστική ποικιλία

Μέλη σε σύνδεση