Από σταθερό σημείο 25

KARKAR · #1

: Από σταθερό σημείο 25.png (21.47 KiB) Προβλήθηκε 648 φορές

Στο σημείο

της διαμέτρου OA=2r

, ενός ημικυκλίου , με PA=x < r

, υψώνουμε κάθετη επί

της οποίας - εξωτερικά του τόξου - κινείται σημείο

. Η

τέμνει το τόξο στο

και η εφαπτομένη του

τόξου στο

, τέμνει τον

στο σημείο

. Δείξτε ότι η ευθεία

διέρχεται από σταθερό σημείο

.

#2

KARKAR έγραψε: Παρ Ιαν 26, 2024 9:08 pm Από σταθερό σημείο 25.pngΣτο σημείο της διαμέτρου , ενός ημικυκλίου , με , υψώνουμε κάθετη επί

της οποίας - εξωτερικά του τόξου - κινείται σημείο . Η τέμνει το τόξο στο και η εφαπτομένη του

τόξου στο , τέμνει τον στο σημείο . Δείξτε ότι η ευθεία διέρχεται από σταθερό σημείο .

To

είναι το αρμονικό συζυγές του

ως προς τα A,O

Σε λίγο η απόδειξη .

Τα σημεία , O,P,A

, θεωρούνται γνωστά καθώς και οι κάθετες σ αυτά προς την

. Μεταβλητό είναι το

και όσα μεταβάλει η κίνησή του .

Φέρνω την

και τέμνει το ημικύκλιο στο

και την

στο

. Η

είναι η συμμετροδιάμεσος από το

του $\vartriangle ABO$ .

Το τετράπλευρο ABFO

είναι αρμονικό και έτσι οι εφαπτόμενες $AG\,\,\kappa \alpha \iota \,\,QT$ , του ημικυκλίου στα $A\,\,\kappa \alpha \iota \,\,F$ συντρέχουν με τη διαγώνιο

έστω στο

.

Η δέσμη : $G\left( {A,F\backslash E,Q} \right)$ είναι αρμονική . Η ευθεία

είναι παράλληλη στην ακτίνα

της εν λόγω δέσμης κι έτσι θα τέμνει

: Απο σταθερό_25_oritzin.png (49.88 KiB) Προβλήθηκε 600 φορές

Τις

στα

με το

μέσο του

. Έστω

το σημείο τομής των , $AG\,\,\kappa \alpha \iota \,\,QT$ .

Στο τραπέζιο GAOQ

ας είναι

το σημείο τομής των διαγώνιων του και

το μέσο της άλλης βάσης του . Ως γνωστό η

διέρχεται από τα $J\,\,\kappa \alpha \iota \,\,T$ .

Επειδή η τετράδα $\left( {M\,\,,\,\,N\backslash J\,\,,\,\,T} \right)$ είναι αρμονική θα είναι και η τετράδα $\left( {O\,\,,\,\,A\backslash P\,\,,\,\,T} \right)$ αρμονική , οπότε το

είναι σταθερό .

Παράδειγμα : Αν $r = 5\,,\,\,x = 3\,$ , τότε , $\boxed{s = \frac{{15}}{2}}$

S.E.Louridas · #3

KARKAR έγραψε: Παρ Ιαν 26, 2024 9:08 pm Στο σημείο της διαμέτρου , ενός ημικυκλίου , με , υψώνουμε κάθετη επί
της οποίας - εξωτερικά του τόξου - κινείται σημείο . Η τέμνει το τόξο στο και η εφαπτομένη του
τόξου στο , τέμνει τον στο σημείο . Δείξτε ότι η ευθεία διέρχεται από σταθερό σημείο .

Μετά από την άριστη παρέμβαση του Νίκου και μόνο για λόγους πολυφωνίας ας δούμε και την κάπως γενικότερη εκδοχή:

Έστω

εσωτερικό σημείο του τμήματος

, αν

είναι το μέσο του

που θα είναι και κέντρο του κύκλου με διάμετρο το OA.

Τότε θα έχουμε $QK\parallel SA,$ ως κάθετα στην ίδια ευθεία OB.

Τελικά προκύπτει:
$\displaystyle {\vartriangle QOK \sim \vartriangle SPA \Rightarrow \frac{{KT}}{{AT}} = \frac{{KQ}}{{AS}} = \frac{{OK}}{{PA}} \Rightarrow AT = \frac{{KA \cdot PA}}{{KP}},\;\,ct.}$

Από σταθερό σημείο 25

Από σταθερό σημείο 25

Re: Από σταθερό σημείο 25

Re: Από σταθερό σημείο 25

Μέλη σε σύνδεση