Ελαχιστοποίηση απόστασης

KARKAR · #1

: Ελαχιστοποίηση απόστασης.png (17.85 KiB) Προβλήθηκε 507 φορές

Σημείο

κινείται σε ημικύκλιο διαμέτρου AB=1

. Επί της

θεωρώ σημείο

, τέτοιο ώστε :

BT=AS

. Βρείτε το ελάχιστο του τμήματος

και δείξτε ότι τότε είναι : $\widehat{SAT}=\widehat{TBA}$ .

duamba · #2

KARKAR έγραψε: Πέμ Μαρ 06, 2025 6:04 pm Σημείο κινείται σε ημικύκλιο διαμέτρου .
Επί της θεωρώ σημείο , τέτοιο ώστε: .
Βρείτε το ελάχιστο του τμήματος και δείξτε ότι τότε είναι: $\widehat{SAT}=\widehat{TBA}$ .

Περιστρέφω τον κύκλο (O, OA)

κατα $90^{\circ}$ γύρω απο το

και φέρνω την AO'

η οποία τέμνει τον περιστραμμένο κύκλο στο

:

: elax.png (40.72 KiB) Προβλήθηκε 450 φορές

Τα τρίγωνα $\triangle ASO$ και $\triangle TBO'$ είναι ίσα. Άρα $\boxed{AS = BT}$ .

H

είναι ελάχιστη γιατί τα A, T, O'

είναι συνευθειακά απο κατασκευής, και άρα οποιαδήποτε άλλη τέμνουσα του κύκλου (π.χ η

) θα είναι μεγαλύτερη λόγω τριγωνικής ανισότητας.

Οι γωνίες $\angle SAT$ και $\angle SBQ$ είναι ίσες επειδή βαίνουν στο ίδιο τόξο,
όμως η $\angle SBQ$ είναι ίση και με την $\angle SBA$ γιατί

$\angle O'TB = TBO', \angle TQB = 90^{\circ} \Rightarrow \angle O'TB +TBQ = 90^{\circ}$
Ισχύει επίσης ότι
$\angle ABO' = \angle ABT + \angle TBO' = 90^{\circ}$

Άρα
$\boxed{\angle ABT = \angle SAT}$

#3

KARKAR έγραψε: Πέμ Μαρ 06, 2025 6:04 pm Ελαχιστοποίηση απόστασης.pngΣημείο κινείται σε ημικύκλιο διαμέτρου . Επί της θεωρώ σημείο , τέτοιο ώστε :

. Βρείτε το ελάχιστο του τμήματος και δείξτε ότι τότε είναι : $\widehat{SAT}=\widehat{TBA}$ .

Με τους συμβολισμούς του σχήματος είναι $\displaystyle SB = \sqrt {1 - {x^2}}$ και με Π.Θ στο SAT

έχω:

: Ελαχιστοποίηση απόστασης.png (22.53 KiB) Προβλήθηκε 425 φορές

$\displaystyle A{T^2} = {x^2} + {\left( {\sqrt {1 - {x^2}} - x} \right)^2} \Leftrightarrow A{T^2} = {x^2} + 1 - 2x\sqrt {1 - {x^2}},$ όπου με τη

βοήθεια παραγώγων βρίσκω $\boxed{A{T_{\min }} = \frac{{\sqrt 5 - 1}}{2} = \frac{1}{\phi }}$ όταν $\boxed{x = \sqrt {\frac{{5 - \sqrt 5 }}{{10}}} }$

Με την τιμή του

που βρήκα και εκτελώντας τις πράξεις, διαπιστώνω ότι $ST\cdot SB=SA^2,$

που σημαίνει ότι η

εφάπτεται στον περίκυκλο του ATB,

δηλαδή $\boxed{\theta=\omega}$

Μιχάλης Τσουρακάκης · #4

KARKAR έγραψε: Πέμ Μαρ 06, 2025 6:04 pm Ελαχιστοποίηση απόστασης.pngΣημείο κινείται σε ημικύκλιο διαμέτρου . Επί της θεωρώ σημείο , τέτοιο ώστε :

. Βρείτε το ελάχιστο του τμήματος και δείξτε ότι τότε είναι : $\widehat{SAT}=\widehat{TBA}$ .

Έστω

συμμετρικό του

ως προς

.

Από γενικευμένο Π.Θ για αμβλεία γωνία 1=TA^2+x^2 +2xST=TA^2+x(x+2ST)=TA^2+BC.x

Άρα

Επομένως το AT^2

(άρα και το

) γίνεται ελάχιστο όταν το

γίνει μέγιστο που συμβαίνει όταν

το

είναι εφαπτόμενο τμήμα στο ημικύκλιο ( οπότε και $\angle \theta = \angle \omega$ )

Στην περίπτωση αυτή για AT=y

παίρνουμε

άρα $AT_{min} =\dfrac{1}{ \Phi }$

: ελαχιστοποίηση απόστασης.png (17.56 KiB) Προβλήθηκε 414 φορές

Ελαχιστοποίηση απόστασης

Ελαχιστοποίηση απόστασης

Re: Ελαχιστοποίηση απόστασης

Re: Ελαχιστοποίηση απόστασης

Re: Ελαχιστοποίηση απόστασης

Μέλη σε σύνδεση