Όμορφα αμβλυγώνια

KARKAR · #1

: Όμορφα αμβλυγώνια.png (7.31 KiB) Προβλήθηκε 351 φορές

Το τρίγωνο ABC

, έχει γωνία $\hat{A}=120^0$ και ακέραιες πλευρές a,b,c

, με :

. Θέλουμε

το μήκος της πλευράς

, να είναι περιττός ακέραιος . Γνωστό είναι το τρίγωνο : (c , b , a)=( 3 , 5 , 7 )

.

Για

, μας κάνουν τα : b=16 , a=19

. Βρείτε τέτοια τρίγωνα με : c=9 , c=11 , c= 13

.

Μπορείτε , γενικότερα , να βρείτε τέτοια τρίγωνα με : $c=2n+1 , n \in \mathbb{N} , n \geq 1$ ;

#2

KARKAR έγραψε: Τετ Οκτ 15, 2025 10:42 am Όμορφα αμβλυγώνια.pngΤο τρίγωνο , έχει γωνία $\hat{A}=120^0$ και ακέραιες πλευρές , με : . Θέλουμε

το μήκος της πλευράς , να είναι περιττός ακέραιος . Γνωστό είναι το τρίγωνο : .

Για , μας κάνουν τα : . Βρείτε τέτοια τρίγωνα με : .

Μπορείτε , γενικότερα , να βρείτε τέτοια τρίγωνα με : $c=2n+1 , n \in \mathbb{N} , n \geq 1$ ;

.
Ναι, υπάρχουν τέτοια τρίγωνα για κάθε

περιττό. Π.χ. μπορούμε να πάρουμε

$\boxed { c=2n+1, \, b = n^2-1, \, a= n^2+n+1}$ '

(το πώς σκέφθηκα είναι άλλη ιστορία, αλλά τίποτα το ιδιαίτερο, εκτός από μικροτεχνασματάκια εδώ και εκεί).

Πράγματι, ισχύει τότε

$\displaystyle{\cos A = \dfrac {c^2+b^2-a^2}{2bc}= \dfrac {(2n+1)^2+(n^2-1)^2-( n^2+n+1)^2}{2(2n+1)(n^2-1)}= \dfrac {-2n^3-n^2+2n+1}{2(2n^3+n^2-2n-1)}= -\dfrac {1}{2}}$

όπως θέλαμε.

Αριθμητικά παραδείγματα είναι τα (c,b,a)=(7,8,13)

ή

και λοιπά.

#3

Mihalis_Lambrou έγραψε: Τρί Οκτ 28, 2025 9:36 pm
$\boxed { c=2n+1, \, b = n^2-1, \, a= n^2+n+1}$ '

(το πώς σκέφθηκα είναι άλλη ιστορία, αλλά τίποτα το ιδιαίτερο, εκτός από μικροτεχνασματάκια εδώ και εκεί).

Μου ζητήθηκε από δύο φίλους να εξηγήσω πώς σκέφθηκα:

Θέλουμε $\displaystyle{\cos A = -\dfrac {1}{2}}$ , ισοδύναμα

$\displaystyle{ \dfrac {c^2+b^2-a^2}{2bc}= -\dfrac {1}{2}}$ ή αλλιώς (b^2+c^2+2bc)-a^2=bc

(διαφορά τετραγώνων), οπότε ισοδύναμα (b+c+a)(b+c-a)=bc

.

Βλέπουμε γινόμενο δύο όρων και στα δύο μέλη, οπότε "αλλάζοντας" το δεξί μέλος για να έχουμε μεγαλύτερο βαθμό ελευθερίας, το γράφουμε ως $(b+c+a)(b+c-a)= (mc)\dfrac {b}{m}$ για τυχαίο

.

Δοκιμάζουμε λοιπόν μήπως έχουμε λύση της μορφής $b+c+a= mc, \, b+c-a=\dfrac {b}{m}$ . To σύστημα αυτό είναι γραμμικό ως προς b,c

, οπότε λύνοντας ως προς αυτές τις δύο μεταβλητές θα βρούμε ότι τα b,c

είναι πολλαπλάσια του

. Συγκεκριμένα, θα βρούμε

$\displaystyle{ c = \dfrac {(2m-1)a}{m^2-m+1}, \, b = \dfrac {m(m-2)a}{m^2-m+1}$ .

Οπότε είναι καλή ιδέα να επιλέξουμε a=m^2-m+1

, για να φύγει ο παρονομαστής. Είναι τότε $c= 2m-1, \, b= m(m-2)$ . Αυτό μας εξασφαλίζει κατάλληλη τριάδα c,b,a

. Αυτή που έγραψα είναι η ίδια μόνο που πήρα m=n+1

για να είναι λίγο πιο απλές οι παραστάσεις.

Όμορφα αμβλυγώνια

Όμορφα αμβλυγώνια

Re: Όμορφα αμβλυγώνια

Re: Όμορφα αμβλυγώνια

Μέλη σε σύνδεση