Σχιζοφρενική ελαχιστοποίηση

KARKAR · #1

: Σχιζοφρενική ελαχιστοποίηση.png (18.13 KiB) Προβλήθηκε 317 φορές

Στο παραλληλόγραμμο ABCD

, η πλευρά AB=d

είναι η διάμετρος ημικυκλίου

και το

σημείο του . Έστω

η προβολή του

στην εφαπτομένη του τόξου στο

και

η τομή της

με το ημικύκλιο .Υπολογίστε το ελάχιστο του

.

#2

KARKAR έγραψε: Παρ Δεκ 05, 2025 12:37 pm Σχιζοφρενική ελαχιστοποίηση.pngΣτο παραλληλόγραμμο , η πλευρά είναι η διάμετρος ημικυκλίου και το σημείο του . Έστω η προβολή του στην εφαπτομένη του τόξου στο και η τομή της με το ημικύκλιο .Υπολογίστε το ελάχιστο του .

Χωρίς βλάβη της γενικότητας θεωρούμε ότι d=2

και παίρνοντας κατάλληλο σύστημα συντεταγμένων (όπως φαίνεται στο σχήμα) βρίσκουμε $A\left( -1,0 \right),B\left( 1,0 \right)$ και την εξίσωση του ημικυκλίου $\left( c \right):{{y}^{2}}=\sqrt{1-{{x}^{2}}},y>0,x\in \left( -1,1 \right)$ (οι ισότητες στα άκρα αγνοήθηκαν λόγω εκφυλισμού του παραλληλογράμμου)

Έστω $\left( c \right)\backepsilon D\left( a,\sqrt{1-{{a}^{2}}} \right)$ . Τότε θα είναι $T\left( -a,\sqrt{1-{{a}^{2}}} \right)$ (συμμετρία ως προς {y}'y

) και $C\left( a+2,\sqrt{1-{{a}^{2}}} \right)$ (από το παραλληλόγραμμο).

: Σχιζοφρενική ελαχιστοποίηση.png (25.02 KiB) Προβλήθηκε 240 φορές

Η εξίσωση της εφαπτομένης στο

του ημικυκλίου είναι $ax+\left( \sqrt{1-{{a}^{2}}} \right)y=1$ με συντελεστή διεύθυνσης $\lambda =-\dfrac{a}{\sqrt{1-{{a}^{2}}}}$ οπότε ο συντελεστής διεύθυνσης της καθέτου

θα είναι ${{\lambda }_{CS}}=\dfrac{\sqrt{1-{{a}^{2}}}}{a}$ και η εξίσωση της $CS:y-\sqrt{1-{{a}^{2}}}=\dfrac{\sqrt{1-{{a}^{2}}}}{a}\left( x-a-2 \right)$ $\Leftrightarrow \ldots CS:\left( \sqrt{1-{{a}^{2}}} \right)x-ay=2\sqrt{1-{{a}^{2}}}$
Η δε λύση του συστήματος των εξισώσεων των δύο ευθειών (γραμμικό 2χ2) θα είναι οι συντεταγμένες του

Είναι $D=\left| \begin{matrix} \sqrt{1-{{a}^{2}}} & -a \\ a & \sqrt{1-{{a}^{2}}} \\ \end{matrix} \right|=\ldots 1$ οπότε θα είναι $x={{D}_{x}}=\left| \begin{matrix} 2\sqrt{1-{{a}^{2}}} & -a \\ 1 & \sqrt{1-{{a}^{2}}} \\ \end{matrix} \right|=\ldots -2{{a}^{2}}+a+2$ και $y={{D}_{y}}=\left| \begin{matrix} \sqrt{1-{{a}^{2}}} & 2\sqrt{1-{{a}^{2}}} \\ a & 1 \\ \end{matrix} \right|=\ldots \sqrt{1-{{a}^{2}}}-2a\sqrt{1-{{a}^{2}}}$
Αν $f\left( a \right)=\left( ST \right)\Rightarrow {{f}^{2}}\left( a \right)={{\left( ST \right)}^{2}}={{\left( -2{{a}^{2}}+2a+2 \right)}^{2}}+4{{a}^{2}}{{\left( 1-{{a}^{2}} \right)}^{2}}\Rightarrow$ $\ldots \Rightarrow {{f}^{2}}\left( a \right)={{\left( ST \right)}^{2}}=4\left( -2{{a}^{3}}+2a+1 \right)$ με ${{\left( {{f}^{2}}\left( a \right) \right)}^{\prime }}=4\left( -6{{a}^{2}}+2 \right)$ .
Έχουμε: ${{\left( {{f}^{2}}\left( a \right) \right)}^{\prime }}=0\Leftrightarrow 4\left( -6{{a}^{2}}+2 \right)=0\Leftrightarrow \ldots a=\pm \dfrac{\sqrt{3}}{3}$ και με βάση το πρόσημο του τριωνύμου (η παράγωγος είναι τριώνυμο) προκύπτει ότι εκατέρωθεν του $-\dfrac{\sqrt{3}}{3}$ γίνεται εναλλαγή της από

σε

δηλαδή η ${{f}^{2}}\left( x \right)$ άρα και η $f\left( x \right)$ παρουσιάζει ελάχιστο για $a=-\dfrac{\sqrt{3}}{3}$ το ${{f}_{\min }}=f\left( -\dfrac{\sqrt{3}}{3} \right)=\sqrt{4\cdot \left[ -2{{\left( -\dfrac{\sqrt{3}}{3} \right)}^{3}}+2\left( -\dfrac{\sqrt{3}}{3} \right)+1 \right]}=\ldots \dfrac{2}{3}\sqrt{9-4\sqrt{3}}$

Σχιζοφρενική ελαχιστοποίηση

Σχιζοφρενική ελαχιστοποίηση

Re: Σχιζοφρενική ελαχιστοποίηση

Μέλη σε σύνδεση