Μέγιστο και ωραίο

KARKAR · #1

: Μέγιστο και ωραίο.png (11.4 KiB) Προβλήθηκε 117 φορές

Με κέντρο το άκρο

του τμήματος

SO=6

και μεταβλητή ακτίνα

r<6

, γράφω κύκλο ,

προς τον οποίο φέρω το εφαπτόμενο τμήμα

. Αν

είναι το αντιδιαμετρικό του

και η

τέμνει τον κύκλο στο

, υπολογίστε το μέγιστο του γινομένου :

ST\cdot TB

.

#2

KARKAR έγραψε: Δευ Σεπ 07, 2026 1:02 pm Μέγιστο και ωραίο.pngΜε κέντρο το άκρο του τμήματος $SO=6$ και μεταβλητή ακτίνα $r<6$ , γράφω κύκλο ,

προς τον οποίο φέρω το εφαπτόμενο τμήμα . Αν είναι το αντιδιαμετρικό του

και η τέμνει τον κύκλο στο , υπολογίστε το μέγιστο του γινομένου : $ST\cdot TB$ .

: Μέγιστο και ωραίο.png (16.45 KiB) Προβλήθηκε 94 φορές

A{S^2} = ST \cdot SB = S{T^2} + ST \cdot TB = \left( {\frac{{A{S^2}}}{{SB}}} \right)^2 + ST \cdot TB \Leftrightarrow

ST \cdot TB = A{S^2}\left( {1 - \frac{{A{S^2}}}{{S{B^2}}}} \right) = \frac{{(36 - {r^2})4{r^2}}}{{36 + 3{r^2}}} \Leftrightarrow ST \cdot TB = \frac{4}{3} \cdot \frac{{{r^2}(36 - {r^2})}}{{12 + {r^2}}}

Με τη βοήθεια παραγώγων τώρα, βρίσκω

\boxed{(ST\cdot TB)_{\rm max}=16}

όταν

\boxed{r=2\sqrt 3}

KARKAR · #3

Γιώργο να είσαι καλά !

Σχεδόν πάντα , όταν ψάχνουμε κάποιο ακρότατο μιας παράστασης , αναρωτιόμαστε αν αυτό μπορεί
να γίνει χωρίς χρήση παραγώγου . Με την βοήθεια του λογισμικού ( αρχικά

) βρίσκουμε ότι :

\dfrac{4r^2(36-r^2)}{3r^2+36}=80-\dfrac{4(r^2+12)}{3}-\dfrac{768}{r^2+12}

, συνεπώς θα έχουμε μέγιστο , όταν η ποσότητα :

\dfrac{4(r^2+12)}{3}+\dfrac{768}{r^2+12}

, γίνει ελάχιστη , πράγμα που από ανισότητα ΑΜ-ΓΜ , συμβαίνει όταν :

\dfrac{4(r^2+12)}{3}=\dfrac{768}{r^2+12}

, δηλαδή για $r=2\sqrt{3}$ και ισούται με :

80-2\sqrt{\dfrac{4}{3}\cdot 768}=80-64=16

.

Μέγιστο και ωραίο

Μέγιστο και ωραίο

Re: Μέγιστο και ωραίο

Re: Μέγιστο και ωραίο

Μέλη σε σύνδεση