Πόσα σύνολα;

#1

Για ένα σύνολο $S \subseteq \mathbb{N}$ , ορίζουμε $f(S) = \{\left\lceil \sqrt{s} \right\rceil \mid s \in S\}$ .
Βρείτε το πλήθος των συνόλων

για τα οποία $\vert f(T) \vert = 2$ και $f(f(T)) = \{2\}$ .

#2

Έστω $f(T) = \{a,b\}$ με a < b

. Τότε $f(f(T)) = \{\lceil \sqrt{a}\rceil,\lceil \sqrt{b}\rceil\} = \{2\}$ . Άρα $a,b \in \{2,3,4\}$ .

Έχουμε λοιπόν τρεις περιπτώσεις

1) $f(T) = \{2,3\}$ .
2) $f(T) = \{2,4\}$ .
3) $f(T) = \{3,4\}$ .

Για να συμβεί το (1) πρέπει $T = A \cup B$ όπου A,B

μη κενά υποσύνολα των $\{2,3,4\}$ και $\{5,6,7,8,9\}$ αντίστοιχα. Υπάρχουν $(2^3-1) \times (2^5-1) = 7 \times 31$ τέτοια σύνολα

.

Με παρόμοιο τρόπο έχουμε $7 \times 127$ επιλογές για το (2) και $31 \times 127$ επιλογές για το (3).

Σύνολο έχουμε $7 \times 31 + 7 \times 127 + 31 \times 127 = 5043$ τέτοια σύνολα.

Πόσα σύνολα;

Πόσα σύνολα;

Re: Πόσα σύνολα;

Μέλη σε σύνδεση