Επαφές και μέσα

KARKAR · #1

: Επαφές και μέσα.png (17.42 KiB) Προβλήθηκε 1162 φορές

Σε τρίγωνο $\displaystyle ABC$ , με AB<AC

, γράφουμε ( πώς ; ) τονς κύκλο (O)

, ο οποίος

εφάπτεται της βάσης

και της πλευράς

στο μέσο της

.

Με όμοιο τρόπο γράφουμε και τον κύκλο (K)

.

α) Επιβεβαιώστε ή καταρρίψτε τον ισχυρισμό , ότι στη μικρότερη πλευρά αντιστοιχεί

μεγαλύτερος τέτοιος κύκλος .

β) Αν είναι γνωστές οι πλευρές AB=c

και

, μπορούμε να υπολογίσουμε

τη βάση BC=a

, ώστε οι δύο αυτοί κύκλοι να εφάπτονται ;

#2

(Μόνο μέχρι και το α). Δεν κοίταξα το β).)

Το Κέντρο

βρίσκεται στην μεσοκάθετο της

και στην διχοτόμο της

, οπότε εύκολα μπορούμε να διεκπεραιώσουμε την κατασκευή.

Η ακτίνα του εν λόγω κύκλου (αριστερά) είναι

$\displaystyle{r_B= MB \tan B= \frac {c}{2} \tan \frac {B}{2} = R\sin C \tan \frac {B}{2} = \frac {2R\tan \frac {C}{2}}{1+\tan ^2\frac {C}{2}}}\tan \frac {B}{2}$

Εύκολα τώρα βλέπουμε ότι συγκρίνοντας με τον δεξί κύκλο είναι r_B > r_C

καθώς αναγόμαστε στην αληθή $\tan \frac {B}{2} > \tan \frac {C}{2}$

Επαφές και μέσα

Επαφές και μέσα

Re: Επαφές και μέσα

Μέλη σε σύνδεση