Συμπίλημα

KARKAR · #1

: Συμπίλημα.png (18.51 KiB) Προβλήθηκε 815 φορές

Οι πλευρές AB , BC , CA

ενός τριγώνου , είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου με διαφορά

.

Στην πλευρά BC=a

, κινείται σημείο

. Σχεδιάζω το παραλληλόγραμμο $APTC , (S \in PT )$

και γράφω τους περικύκλους των BPS , CST

, των οποίων τα κέντρα είναι τα O , K

αντίστοιχα .

α) Υπολογίστε την διάκεντρο

συναρτήσει της

.

β) Εξηγήστε γιατί η γωνία $\widehat{OSB}$ παραμένει σταθερή .

γ) Για ποια θέση του

, ο

εφάπτεται της

;

#2

Προφανώς $a \geqslant 3$

Οι κύκλοι εφάπτονται εξωτερικά γιατί αν είχαν κι άλλο κοινό σημείο εκτός του

η ευθεία

θα περνούσε από

μη συνευθειακά σημεία .

Αν $OM\,\,\kappa \alpha \iota \,\,KN$ τα αποστήματα προς τις χορδές $BS\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,SC$ και R,r

οι ακτίνες θα είναι :

: Συμπίλημα_1.png (27.18 KiB) Προβλήθηκε 775 φορές

$\left\{ \begin{gathered} R = \frac{{MS}}{{\sin A}} \hfill \\ r = \frac{{NS}}{{\sin A}} \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow \boxed{OK = \frac{a}{{2\sin A}}}$

Λόγω του ότι $c = a - 1\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,\beta = \alpha + 1$ και του Θ συνημίτονου στο $\vartriangle ABC$ έχω :

$\boxed{OK = \frac{{\left( {{a^2} - 1} \right)\sqrt 3 }}{{3\sqrt {{a^2} - 4} }}}$

$\boxed{\widehat {{\theta _{}}} = 90^\circ - \widehat {{A_{}}}}$ άρα σταθερή

Τέλος αν η

εφάπτεται στο

της

, θέτω $SC = x < a\,\,,\,\,CQ = u < b\,\,\kappa \alpha \iota \,\,AP = TC = y < c$ .

: Συμπίλημα_3.png (23.33 KiB) Προβλήθηκε 775 φορές

Θα ισχύουν ταυτόχρονα :

$\left\{ \begin{gathered} {u^2} = ax \hfill \\ {\left( {b - u} \right)^2} = cy \hfill \\ \frac{y}{{c - y}} = \frac{x}{{a - x}}\,\,\,,\,\,\,\vartriangle SPB \approx \vartriangle STC \hfill \\ \end{gathered} \right.$

Από τις δύο πρώτες η τρίτη δίδει: $\boxed{u = \frac{{a(a + 1)}}{{2a - 1}}}\,\,,\,\,u = a(a + 1)$ ( απορρίπτεται ) και άρα : $\boxed{x = \frac{{a{{\left( {a + 1} \right)}^2}}}{{{{\left( {2a - 1} \right)}^2}}}}$

Συμπίλημα

Συμπίλημα

Re: Συμπίλημα

Μέλη σε σύνδεση