Ταυτόχρονη (;) μεγιστοποίηση

KARKAR · #1

: Ταυτόχρονη μεγιτοποίηση.png (9.57 KiB) Προβλήθηκε 958 φορές

Τα τμήματα AQ , AO

είναι σταθερά , ίσα και κάθετα . Το τμήμα

είναι κάθετο στο

και μεταβλητού μήκους .

Φέρουμε $OT \perp SA$ , το οποίο τέμνει την

στο

και ας πούμε P',T'

τις προβολές των P,T

στο τμήμα

.

Υπολογίστε τα μέγιστα των τμημάτων TT' , PP'

και το τμήμα

τη στιγμή της μεγιστοποίησης .

#2

KARKAR έγραψε: Τρί Μαρ 10, 2020 9:31 pm Ταυτόχρονη μεγιτοποίηση.pngΤα τμήματα είναι σταθερά , ίσα και κάθετα . Το τμήμα είναι κάθετο στο και μεταβλητού μήκους .

Φέρουμε $OT \perp SA$ , το οποίο τέμνει την στο και ας πούμε τις προβολές των στο τμήμα .

Υπολογίστε τα μέγιστα των τμημάτων και το τμήμα τη στιγμή της μεγιστοποίησης .

Επειδή το

διαγράφει ημικύκλιο διαμέτρου

είναι προφανές ότι το TT'

γίνεται μέγιστο όταν γίνει ίσο με την ακτίνα δηλαδή $\dfrac{{OA}}{2}$ .

Επιλέγω Καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένες με αρχή το

και μοναδιαίο διάνυσμα :

$\boxed{\overrightarrow j = \overrightarrow {OA} }$

: Ταυτόχρονη μεγιστοποίηση.png (27.11 KiB) Προβλήθηκε 926 φορές

Αν $OS = s\,\,\,,\,\,s \in \left( {0, + \infty } \right)$ εύκολα προκύπτει :

$\left\{ \begin{gathered} TT' = \frac{s}{{1 + {s^2}}} \hfill \\ PP' = \frac{s}{{{s^2} + s + 1}} \hfill \\ \end{gathered} \right.$

Παρουσιάζουν μέγιστο και οι δύο ποσότητες για s = 1

τα : $\dfrac{1}{2}\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,\dfrac{1}{3}$ αντίστοιχα .

Τότε $\boxed{OP = \frac{{\sqrt 2 }}{3}}$

KARKAR · #3

Νίκο καλημέρα ! Ενδιαφέρον έχει ο υπολογισμός του

για κάθε τιμή του

.

#4

KARKAR έγραψε: Τετ Μαρ 11, 2020 7:26 am Νίκο καλημέρα ! Ενδιαφέρον έχει ο υπολογισμός του για κάθε τιμή του .

Καλημέρα και καλή επάνοδο στις δουλειές σας .

Παρατήρηση :

: Ταυτόχρονη μεγιστοποίηση_Απάντηση σε KARKAR.png (34.14 KiB) Προβλήθηκε 890 φορές

Οι συντεταγμένες του

είναι για κάθε

οι λύσεις του συστήματος των ευθειών :

$\left\{ \begin{gathered} OT \to y = sx \hfill \\ SQ \to y = \frac{{ - 1}}{{s + 1}}\left( {x - s} \right) \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow P\left( {\dfrac{s}{{{s^2} + s + 1}},\dfrac{{{s^2}}}{{{s^2} + s + 1}}} \right)$

Άρα : $\boxed{OP = \frac{{s\sqrt {{s^2} + 1} }}{{{s^2} + s + 1}}}$

#5

Καλημέρα σε όλους. Εύχομαι, σύντομα να επιστρέψουμε στους καθημερινούς ρυθμούς, με τις μικρότερες, το δυνατόν, επιπτώσεις, στη υγεία και στη ζωή μας!(*)

Ίδια λύση με του Νίκου, με κάποιες επεκτάσεις σε λεπτομέρειες.

: 11-03-2020 Γεωμετρία.png (16.46 KiB) Προβλήθηκε 884 φορές

Έστω $A(0,1), Q(-1,1), S(a, 0), a \ge 0$ .

$\displaystyle SA:\;y = - \frac{1}{a}x + 1$ , $\displaystyle OT \bot SA$ άρα $\displaystyle OT:\;y = ax$ , $\displaystyle SQ:\;y = - \frac{1}{{a + 1}}x + \frac{a}{{a + 1}}$ .

οπότε $\displaystyle T\left( {\frac{a}{{{a^2} + 1}},\;\frac{{{a^2}}}{{{a^2} + 1}}} \right),\;\;P\left( {\frac{a}{{{a^2} + a + 1}},\;\frac{{{a^2}}}{{{a^2} + a + 1}}} \right)$ .

Είναι $\displaystyle \left( {TT'} \right) = \frac{a}{{{a^2} + 1}} = \frac{1}{2} \cdot \frac{a}{{{a^2} + 1}} \le \frac{1}{2}$ , αφού $\displaystyle {a^2} + 1 \ge 2a\;\;\forall a \ge 0$ , με το ίσον όταν a=1

.

και $\displaystyle \left( {PP'} \right) = \frac{a}{{{a^2} + a + 1}} = \frac{1}{3} \cdot \frac{{3a}}{{{a^2} + a + 1}} \le \frac{1}{3}$ , αφού $\displaystyle {a^2} + a + 1 \ge 3a,\;\;\forall a \ge 0$ με το ίσον όταν a=1

.

Για τις συντεταγμένες του

έχουμε $\displaystyle \left\{ \begin{array}{l} x = \frac{a}{{{a^2} + a + 1}}\\ y = \;\frac{{{a^2}}}{{{a^2} + a + 1}} \end{array} \right.\;\; \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} y = ax\\ a = \frac{{\sqrt {4y - 3{y^2}} - y}}{{2\left( {y - 1} \right)}} \end{array} \right.$ με $\displaystyle 0 \le y \le 1$

οπότε το

κινείται στην καμπύλη με εξίσωση

$\displaystyle 2y\left( {1 - y} \right) = \left( {\sqrt {4y - 3{y^2}} + y} \right)x,\;\;x \ge 0,\;y \in \left[ {0,1} \right]$ .

Είναι $\displaystyle OP = \sqrt {{{\left( {\frac{a}{{{a^2} + a + 1}}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{{{a^2}}}{{{a^2} + a + 1}}} \right)}^2}} = \frac{{a\sqrt {1 + {a^2}} }}{{{a^2} + a + 1}} < 1$ , (δίχως να έχει μέγιστη τιμή),

αφού $\displaystyle {a^2} + a + 1 > a\sqrt {1 + {a^2}} \Leftrightarrow 2{a^3} + 2{a^2} + 2a + 1 > 0$ , που ισχύει. (Η οριακή τιμή της συνάρτησης είναι

καθώς το

τείνει στο $+\infty$ ).

(*) Για τους μελλοντικούς αναγνώστες, αναφέρομαι στα περιοριστικά μέτρα που πάρθηκαν για την εξάπλωση του νέου επικίνδυνου ιού.

#6

KARKAR έγραψε: Τρί Μαρ 10, 2020 9:31 pm Ταυτόχρονη μεγιτοποίηση.pngΤα τμήματα είναι σταθερά , ίσα και κάθετα . Το τμήμα είναι κάθετο στο και μεταβλητού μήκους .

Φέρουμε $OT \perp SA$ , το οποίο τέμνει την στο και ας πούμε τις προβολές των στο τμήμα .

Υπολογίστε τα μέγιστα των τμημάτων και το τμήμα τη στιγμή της μεγιστοποίησης .

Καλημέρα!

: Ταυτόχρονη μεγιστοποίηση.png (20.89 KiB) Προβλήθηκε 862 φορές

Έστω

Αποφεύγω τις πράξεις ρουτίνας και με όμοια τρίγωνα βρίσκω: $\displaystyle AM = \frac{{{a^2}}}{{a + x}},MO = \frac{{ax}}{{a + x}},AT = \frac{{{a^2}}}{{\sqrt {{a^2} + {x^2}} }},TS = \frac{{{x^2}}}{{\sqrt {{a^2} + {x^2}} }},OT = \frac{{ax}}{{\sqrt {{a^2} + {x^2}} }}$

Στη συνέχεια με Π. Θ παίρνω $\displaystyle MS = \frac{x}{{a + x}}\sqrt {2{a^2} + 2ax + {x^2}}$ κι εδώ ξεκινάει η τριγωνομετρία:

$\displaystyle \sin \varphi = \frac{x}{{\sqrt {{a^2} + {x^2}} }},\cos \varphi = \frac{a}{{\sqrt {{a^2} + {x^2}} }},\sin \omega = \frac{a}{{\sqrt {2{a^2} + 2ax + {x^2}} }},\cos \omega = \frac{{a + x}}{{\sqrt {2{a^2} + 2ax + {x^2}} }}$

Και τώρα νόμος ημιτόνων στο OPS:

$\displaystyle \frac{{OP}}{x} = \frac{{\sin \omega }}{{\sin (\omega + \varphi )}} \Leftrightarrow ... \Leftrightarrow$ $\boxed{OP = \frac{{ax\sqrt {{a^2} + {x^2}} }}{{{a^2} + ax + {x^2}}}}$

Τέλος με αναλογίες, $\boxed{TT' = \frac{{{a^2}x}}{{{a^2} + {x^2}}}}$ και $\boxed{PP' = \frac{{{a^2}x}}{{{a^2} + ax + {x^2}}}}$

$\displaystyle TT' \le \frac{{{a^2}x}}{{2ax}} = \frac{a}{2},PP' \le \frac{{{a^2}x}}{{3ax}} = \frac{a}{3}$ Επομένως, για $\boxed{x=a}$ έχουμε ταυτόχρονη μεγιστοποίηση:

$\boxed{T{{T'}_{\max }} = \frac{a}{2},P{{P'}_{\max }} = \frac{a}{3}}$ και σ' αυτή τη θέση $\boxed{OP = \frac{{a\sqrt 2 }}{3}}$

#7

Έστω

το σημείο τομής των $OT\,\,\kappa \alpha \iota \,\,AQ$ . Σταθερό είναι το μήκος OA = AQ = a

.

Θέτω: $OS = x > 0,\,\,TT' = y\,\,,\,\,PP' = z\,\,,\,\,OP' = t$

α) Το μήκος TT' = y

γίνεται μέγιστο όταν γίνει ίσο με την ακτίνα του ημικυκλίου διαμέτρου

γιατί το

διαγράφει το σταθερό αυτό ημικύκλιο. Τότε : x = a

β) .

: Ταυτόχρονη μεγιστοποίηση_Ευκλείδεια.png (15.98 KiB) Προβλήθηκε 826 φορές

Από την ομοιότητα των τριγώνων $P'OP\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,OSA$ έχω: $\dfrac{z}{a} = \dfrac{t}{x}\,\,\left( 1 \right)$

Από την ομοιότητα των τριγώνων $ATE\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,STO$ έχω: $\dfrac{u}{x} = \dfrac{{AT}}{{AS}} = \dfrac{{{a^2}}}{{{x^2}}} \Rightarrow u = \dfrac{{{a^2}}}{x}\,\,\left( 2 \right)$

Αλλά : $\dfrac{{QE}}{{OS}} = \dfrac{{EP}}{{PO}} = \dfrac{{AP'}}{{OP'}} \Rightarrow \dfrac{{a + u}}{x} = \dfrac{{a - t}}{t} \Rightarrow t = \dfrac{{ax}}{{a + x + u}}$ που λόγω των $\left( 1 \right)\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\left( 2 \right)$

δίδει : $z = \dfrac{{{a^2}x}}{{{x^2} + ax + {a^2}}}$ . Εύκολα έχω ότι $z \leqslant \dfrac{a}{3} \Leftrightarrow {\left( {x - a} \right)^2} \geqslant 0$

άρα κι εδώ έχω μέγιστο αν x = a

.

Μιχάλης Τσουρακάκης · #8

KARKAR έγραψε: Τρί Μαρ 10, 2020 9:31 pm Ταυτόχρονη μεγιτοποίηση.pngΤα τμήματα είναι σταθερά , ίσα και κάθετα . Το τμήμα είναι κάθετο στο και μεταβλητού μήκους .

Φέρουμε $OT \perp SA$ , το οποίο τέμνει την στο και ας πούμε τις προβολές των στο τμήμα .

Υπολογίστε τα μέγιστα των τμημάτων και το τμήμα τη στιγμή της μεγιστοποίησης .

και

Άρα η μέγιστη τιμή του TT'

πιάνεται όταν $AT'=T'O= \dfrac{a}{2}$ και τότε είναι x=a

Ισχύει, $\dfrac{y}{x}= \dfrac{IT}{TO}= \dfrac{y^2}{a^2} \Rightarrow y= \dfrac{a^2}{x}$

$\dfrac{z+a}{x+a}= \dfrac{QP}{QS}= \dfrac{y+a}{x+y+a} \Rightarrow z= \dfrac{xy}{x+y+a}=a^2 \dfrac{x}{x^2+ax+a^2} =a \dfrac{1}{ \dfrac{x}{a}+ \dfrac{a}{x} +1 }$

Αλλά $\dfrac{x}{a} + \dfrac{a}{x} \geq 2 \Rightarrow \dfrac{a}{ \dfrac{x}{a}+ \dfrac{a}{x} +1 } \leq \dfrac{a}{3}$ .Άρα $maxPP'=maxz= \dfrac{a}{3}$ με το ίσον να πιάνεται όταν x=a

Για

είναι

και $OI=a \sqrt{2}$ . Έτσι $\dfrac{z}{y} = \dfrac{OP}{OI} \Rightarrow \dfrac{ \dfrac{a}{3} }{a}= \dfrac{OP}{a \sqrt{2} } \Rightarrow OP= \dfrac{a \sqrt{2} }{3}$

: ταυτόχρονη μεγιστοποίηση.png (13.12 KiB) Προβλήθηκε 798 φορές

Ταυτόχρονη (;) μεγιστοποίηση

Ταυτόχρονη (;) μεγιστοποίηση

Re: Ταυτόχρονη (;) μεγιτοποίηση

Re: Ταυτόχρονη (;) μεγιστοποίηση

Re: Ταυτόχρονη (;) μεγιστοποίηση

Re: Ταυτόχρονη (;) μεγιστοποίηση

Re: Ταυτόχρονη (;) μεγιστοποίηση

Re: Ταυτόχρονη (;) μεγιστοποίηση

Re: Ταυτόχρονη (;) μεγιστοποίηση

Μέλη σε σύνδεση